Infinitesimalbetrachtungen. Kepler. Cavalieri.

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Fig. 115.

mittels des Durchgangs durch ein anderes Dreieck gezeigt (Figur 145).Das dem grösseren Dreiecke ABC ähnliche kleinere Dreieck EBBwird so auf ersteres gelegt, dass dieWinkel bei B sich decken, und daunwird CE gezogen. Die Dreiecke ABC,

EBC haben gleiche Höhe. In beidenkönnen daher gleich viele, gleich weitvon einander abstehende Parallele zurGrundlinie gedacht werden, die alle in

gleichem Verhältnisse zu einander stehen, wie die Grundlinien AB,EB. Deren Gesammtheiten stehen also in gleichen Verhältnissenoder ABC : A EBC — AB: EB Aber die Dreiecke EBC, EBBbesitzen ebenfalls gleiche Höhen. Unter gleicher Begründung kannman daher folgern A EBC : A EBB = BC : BB = A B : EB .Also findet er durch Vereinigung beider Verhältnisse

A ABC : A EBB = AB 2 : EB 1

nach einem Beweise, der von dem bei Euklid VI, 19 sich kaum andersunterscheidet als durch das neu auftretende Wort der Gesammtheitender Geraden. Nichtsdestoweniger weiss Cavalieri sich auf den Be-weis und namentlich auf dessen ersten Theil, der das Verhältnissähnlicher Figuren überhaupt auf das ähnlicher Dreiecke zurückführt,sehr viel zu gut. 1 ) Welcher Fortschritt, ruft er aus, gegen die Me-thode früherer Schriftsteller! Dort musste für Dreiecke, Vierecke,Kreise der Beweis gesondert geführt werden; die neue Methode ver-einigt Alles in einen Satz. Ganz ähnlich wird alsdann im 17. Satzedes II. Buches 2 ) gezeigt, dass ähnliche Körper sich wie die Würfelgleichliegender Seiten verhalten. Der 19.Satz 3 ) behauptet, das Parallelo-gramm werde durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt, derenjedes halb so gross sei als das Parallelogramm (Figur 146). Man be-trachtet AF, CB als gegenüberliegende Tan-genten, nimmt CB = FE und zieht dieZwischengeraden BM, EH. Sie sind ein-ander gleich, gleich also auch die Gesammt-heiten der Geraden in den beiden DreieckenCAF, FBC und gleich die Dreiecke selbst.

Mithin ist jedes die Hälfte der Summe beiderDreiecke, d. h. des Parallelogramms. Immernoch im II. Buche, in dem 24. Satze, 4 ) gelangt Cavalieri dazu, nichtmehr Gesammtheiten einfacher Geraden, sondern solche der Quadratedieser Geraden in Betracht zu ziehen. Ein Parallelogramm und dasdessen Hälfte darstellende Dreieck sind die Figuren, deren Gerade

Fig. 146.

l ) Indivisibilien pag. 133. , .

bis 147. 4 ) Ebenda pag. 159—160.

! ) Ebenda pag. 133—145. 3 ) Ebenda pag

. 14