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Kapitel LXXVIII.

<p = ~jf-< W = 2 ^/ = der Länge de3 Kreisbogens D'I), welcherals eine gekrümmte Imlivisibilie des Raumes Q betrachtet werden kann.Nun werde ein Rechteck EFGH mit der Grundlinie FG = 2nliund der Höhe EF—li gezeichnet, dessen Inhalt demnach 2 itli 2 ist.Innerhalb des Rechtecks mit E als Scheitel, EH als Axe, wird einedurch G hindurchgeheude Parabel y 2 = cix gezeichnet. Der vor-geschriebenen Bedingung der Zeichnung gemäss ist ll 2 = a.27tR,

a = , also die Parabelgleichung y 2 = ~~ oder x = • So oft

folglich y = p, ist x gleich der Länge des Kreisbogens 1)1). Mankann aber x als Indivisibilie des Trilineum EFGJE betrachten, inwelchem es alle Werthe von 0 bis2jri? annimmt, genau so wie derKreisbogen 1)1) im Raume Q. Die Gesammtheiten beider müssenalso gleich sein, d. h. Q => EFGJE neben 2 %R 2 — EFGH oder7i R 2 = A EFG. Daraus folgt nR 2 — Q = EJGE — der Flächeder Spirale, deren Auffindung dadurch auf die Quadratureines Parabelabschnittes zurückgeführt ist. Letztere wurde,

wie wir oben sahen, als Drittel des Dreiecks EFG, d. h. als - —erkannt, und ebensogross ist die Fläche der Spirale. Mit dem VI. Bucheist dasjenige, was Cavalieri nach der Methode der Indivisibilieu er-örtert hat, abgeschlossen.

Er fühle selbst, erklärt die Vorrede zu dem sich anschliessendenVII. Buche, 1 ) dass dem Leser manche Zumuthuugen gemacht wordenseien. Die Philosophen stritten sich herum über die Zusammen-setzung des Continuums, über das Unendliche; die Vorstellung vonder Gesammtheit von Geraden oder Ebenen möge Mauchen unfassbarsein, sowie auch, dass die Meinung des Verfassers auf eine Zu-sammensetzung des Continuums aus Indivisibilieu hinauslaufe. JeneGesammtheiten seien am leichtesten negativ zu verstehen, nämlichso, dass keine Gerade, keine Ebene ausgeschlossen sei. Auf alle Fällewolle er eine zweite Methode mittheilen, welche von jenen demZweifel ausgesetzten Betrachtungen frei sei. Ihre Grundlage stelltder 1. Satz des VII. Buches 2 ) dar: Raumgebilde der Ebene wiedes Raumes sind inhaltlich gleich, wenn in gleicher Höhebei beiden geführte Schnitte gleiche Strecken beziehungs-weise gleiche Flächen ergeben.

Die Dunkelheit der Cavalieri’schen Darstellung mag manche Leserabgeschreckt, andere nur um so stärker angezogen haben, ähnlichenErfolg mögen die neuen Auffassungen gehabt haben, welche hier ent-gegentraten, jedenfalls erhoben sich in ungleich stärkerem Maasseals bei Keplers Doliometrie Stimmen gegen die Geometrie der Indi-visibilien neben solchen, welche Cavalieri beipflichteten.

') Indivisibilien pag. 482—483. *) Ebenda pag. 484.