72

Kapitel XI,IV.

genden stellen eine zusammenhängende Lehre von den gegenseitigenBeziehungen zwischen regelmässigen Sehnen- und Tangeutenvieleckenher. Um dieselbe übersichtlicher ausspreclien zu können, wollen wirFlächeninhalt und Umfang eines regelmässigen Selmen-?i-ecks durch■i„ und u n , die entsprechenden Grössen für das regelmässige Tan-genten-jj-eck des gleichen Kreises durch /„ und U„ bezeichnen. Im8., 9., 11. Satze beweist alsdann Jordanus die Proportionen:

hi • - i‘2n - In j

in ■■ im > Un ■ u,„, sofern n > m ,

In- I,n = u n : U, n und I,„ > J„, sofern n > m.

Der Beweis des 8. Satzes wird unter der Annahme n = 3 geometrischgeführt (Figur 15). Das Tangentendreieck liegt so, dass es die Spitzendes Sehnendreiecks (z. B. d und /') zu Berührungs-punkten hat, worauf eine stetige Proportion zwischenAbschnitten der Verbindungsgeraden vom Kreis-mittelpunkte zu einem Eckpunkte des Tangenten-dreiecks sich leicht ergiebt. Es ist z. B.dir = hz ■ ha, hz' 1 — hz ■ hz,äh' -{- hz- = hz (ha -f- hz) = hz • az .Zugleich ist auch dli 1 + hz 1 = dz 2 = gz l , mithinhz: gz — gz: az. Diese Abschnitte als Grundlinienvon Dreiecken benutzt, deren gemeinsame Spitze

Fig. 15. . ° 1

im Eckpunkte d des feehnendreiecks liegt, über-tragen jene Proportion einfach auf die Flächen der eben gekenn-zeichneten Dreiecke:

A dhz : Adgz = A dgz : Adaz,

also auch auf Gleichvielfache derselben, und damit ist der Satz be-wiesen, dass i n : i, n = i in : I„ . Wiew r ohl Jordanus eigentlich n = ovorausgesetzt hat, kommt also diese Voraussetzung in der Beweis-führung nirgend vor, und Jordanus kann getrost fortfahren,') ähn-liche Schlüsse könne man ziehen, sofern Vielecke von viel mehrSeiten vorliegen. Auffallend genug, dass Jordanus sich dadurch dochnicht befriedigt zu fühlen schien. Er behandelt vielmehr im 15. Satzenoch einmal besonders den Fall n = 4, ohne dabei des vorher-gegangenen allgemeinen 8. Satzes nur zu gedenken. Im 16. Satzewendet sich Jordanus der Quadratur des Kreises 2 ) zu. Dem Kreise alässt Jordanus ein Quadrat de umschreiben und sucht eine Fläche c,welche der Proportion c : a — a : de genüge. Ist nun das gefundene

fuerit, proporcionalis consistit, que duplo plurium laterum existens infra eundetmcirculum inscribitur. ') Ebenda S. 32 ex eis argues si proposite fuerint /igunepoligonie multo plurium laterum. *) Ebenda S. 3G Proposito circulo equahe

quadratum constituere.