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85. Kapitel.

Newton hat dasselbe in dem (S. (74) erwähnten an OldenburgsAdresse gerichteten, eigentlich aber zur Vorzeigung an Leibniz be-stimmten Briefe vom 24. October lfi>7(> auseinandergesetzt 1 ). Wallis war, wie wir in Erinnerung bringen, die Quadratur von Curven vonder Gleichung y = (1 — x 2 ) m gelungen, wenn tu die Werthe 0, 1, 2, 3u. s. w. besass. Jene Quadraturen waren alsdann der Beihe nach:

x 3 2 ... 1 . 3 , . 3 , 1 -

x, x -— , x -— ar 4- — x a , x -— x ö 4- — x-' -— x‘ u. s. w.

Newton suchte nach dem Gesetze dieser Entwicklung. Als erstes

Glied erschien immer x, als zweites — — vervielfacht mit der Zahl

m, also ——vf 3 ' 3 ’ -if x '',-1 3 ? u. s. w. Die ferneren

Glieder ergaben sich nicht ganz so einfach. Die Exponenten derPotenzen von x und die ihnen gleichen Nenner der Zahlencoefficientendieser Potenzen wuchsen zwar in arithmetischer Reihe der ungradenZahlen 1, 3, 5, 7 u. s. w. Die Zähler der Ooefficienten ergaben sichals die aufeinander folgenden Potenzen der Zahl 11, nämlich

11’ = 11, 11* =121, ll 3 = 1331, U 4 = 14641 u. s. in-sofern die einzelnen Ziffern jener Zahlen getrennt als Zähler betrachtetwerden, also 1,1, dann 1,2, 1, ferner 1,3, 3, 1, ebenso 1,4, (1, 4, 1u. s. w. Aber das war noch kein Bildungsgesetz. Als solches er-kannte Newton, dass wenn 1 und m die beiden ersten Zähler waren,die folgenden sich aus ihnen durch fortgesetzte Multiplikation mit

m ~~ 1 , mit m mit -- u. s. w. ergeben, wodurch das Ab-

2 7 3 7 4 o /

brechen der Reihe, sobald durch ganzzahlig positive Wahl von m

ein Faktor 0 auftrat, sich von selbst erklärte. Diese Bemerkung war

ebenso neu wie das multiplikative Entstehen der Binomialcoefficienten,

welche man bisher seit Michael Stifel ^Bd. II, S. 397) stets additiv

nach dem Gesetze ( “ ) + J = (” *) erhalten hatte. Newton

ging nun den oben als Interpolation bezeichneten kühnen Schrittweiter; er meinte das von ihm gefundene Gesetz auch daun festhaltenzu dürfen, wenn m keine positive ganze Zahl sei.

Bei m = entstanden ihm so die Ooefficienten

1-1 1-2

1 12 12 2

F 1 « 2 1 2 2 3 _ 1

T = IT’ 5 ^ _ 40’ 7 _ = 112 U ' S '

und da die Vorzeichen ausserdem wechseln mussten, so entstand ihm

’) Commcrc. epistol. pag. 122 flgg.