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86. Kajjitel.

steigenden geometrischen Progression grösser als jede beliebig ge-gebene Zahl und zweitens die Glieder einer fallenden geometrischenProgression kleiner als jede beliebig gegebene Zahl, erstere also un-endlich gross, letztere schliesslich Null werden. Bernoulli wendet

sich sodann zur Reibe y -f- -f- * y ^ + • • •, um nach dem

Werthe t des unendlich fernen Gliedes zu fragen. Der dabei ein-geschlagene Gedankengang ist höchst eigenartig. Als n tes Glied be-trachtet ist t = “ "j’-j”- )4, woraus n — 1 + ht ■ Damit aber

n = co werde, kann nicht ht — a = oc sein. Das würde nämlicht = oc, c — dt = — oo, “ negativ bedingen, wodurch n Nulloder negativ -würde, was ein Unsinn ist. Also muss n — oc aus

‘c — dt = 0 hervorgehen und t — 4 sein. Nun ist entweder° d

a c

tt > t

oder -y > -fd u

oder

c

d ’

jedenfalls sind daher die unendlich vielen Glieder, vom ersten an biszu /, alle grösser als c oder als 4 , oder gleich beiden Brüchen, und

ihre Summe ist mehr als das Unendlichfache eines gegebenen Aus-druckes, beziehungsweise ihm gleich, d. h. unendlich gross. Damithängt der weitere Satz zusammen, dass bei zu summirenden unend-liehen Reihen die Glieder schliesslich verschwinden müssen, weil dieReihe andernfalls keine unendliche Summe besitzen könne 1 ).

Nun geht es an wirkliche Summirungen. Sei unter N die Reihe

— 4- “ -4- 4 H-verstanden, unter P die Reihe a -4- 4- 4 + • • •,

welche die um das Anfangsglied ” verkürzte Reihe N oder N -^

ist. Ziehe man beide Reihen gliedweise von einander ab, so entsteheeine neue Reihe Q, welche N—yN —) =-- sein müsse. Also

a

c

_L _i_ JL 4. .

~ 2 c ~ 3c —

N

CI | & | Ct >

2 c 3 c 4 c ^

N —

— = pc

1 • 2 ■ c

+

q ) a2 • 3 • c 3-4

+

c

Jakob Bernoulli empfand selbst das höchst Bedenkliche diesesVerfahrens, wir würden heute sagen die Unzulässigkeit des Rechnensmit divergenten Reihen, denn er bemerkte sofort, ohne besondere

') cum alias illarum summae finitae esse non possent.