Vorsicht dürfe man sich dieser Methode nicht bedienen'). Sei näm-, 2« . Sa . 4rt . ,, Sa . in . r>a ,, in
liclll "j™ 2^ ”i I" * 2 g 3g I" ~~i * ^ g
und man zöge die ähnliche Folgerung wie vorher, so entstände dies-
ial
1 . 2 • c ^ 2 • 3 • c ' 3 4 cmöglich eine und dieselbe Reihe Q einmal und einmal ~ zur
a
3 • c
+
— — = Q, während doch un-c
Summe haben könne. Der Fehler liege daran, dass das Grüssenver-hältniss der Endglieder der Reihen im zweiten Falle keine Reaclitunggefunden habe. In den Reihen N und P verschwinden die Endglieder,deshalb komme es bei der gliedweisen Subtraktion N — P nichtdarauf an, dass die Reihe P um ein Glied weiter reiche als X. Ganzanders liege die Sache bei den Reihen S und T. Es sei
S =
2a -)- ac + c
+
2 a 2 a .
C + 2c *”
Das unendlich ferne Glied dieser Reihe sei daher nach dem FrüherenP-- Um dieses Glied sei also T länger als S, und deshalb sei S — T
nicht — , sondern —-— — —, d. h. Q habe genau denselben Werth
c ’ c e c ’ v D
wie vorher.
Jakob Bernoulli betrachtet alsdann die harmonische Reihe,welche eine unendlich grosse Summe besitze 2 ). Man könneden Beweis nach zwei Methoden führen, deren erste von JohannBernoulli herrühre, welcher die Sache auch zuerst bemerkt habe.Setze man in die wiederholt beigezogene Reihe Q statt a und cjedesmal die Zahl 1, so entstehe
x 2 + % 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + • • • = 1-Augenscheinlich sei
_|__i__i_ ^ ___i_ ^ i ^ I
o - * - 3 ”1" 4 ”T" ß " r ' ’ ' l-2'2-3 _r 3-4 -r 4-5 _r '
= (l 1 2 + 2 1 3 + 3^4 + ih + ' ") + (ä^S + 3T4 + 4'5 + ’ ‘ ')
+ (iTl + + •■) + (4 1 0 + ■■) + •■ '
= 1 + ( l — t) + i l — T — t) + t 1 ~ T — Jf ~ n)
1 +T+T+T+
') Obscrvandum tarnen, non sine cautela hac utendum esse methodu. s ) Summaseriei infinitae harmonice progressionahum + + + es * infinita.