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81». Kapitel.
vor oder nach dem betreffenden l'unkte vorhanden. Daraus ergibtsich die Notliwendigkeit die Fluxion zu suchen und gleich Null zusetzen, und daraus eine Regel, welche mit der von Hudde herrühren-den (Bd. IT, S. 8411 übereinstimme 1 ). Aus
folgt
x 3 — ax~ + axy — y 3 = 0
3x 2 x — 2 ax'x -{- ayx -f- axy — 3 y 2 y = 0.
Mittels cc = 0 erhält man axy — Sy 2 y — 0, beziehungsweise 3 y- = ax,und diese Gleichung in Verbindung mit der ursprünglich gegebenenlässt die gewünschten Werthe von x und y auffinden. Ein Kriteriumdafür zu suchen, ob die ermittelten Werthe von x und y wirklichein Maximum oder ein Minimum und welches von beiden sie liefern,fällt auch Newton noch nicht ein.
Die vierte Aufgabe ist die der Tangentenziehung 2 ). Beiihrer Betrachtung hat Newton den nur von Fermat fast verstohlener-weise angedeuteten (Bd. II, S. 745, Note 2) Fortschritt vollzogen, dass
die Ordinaten der Curve (Fi-gur 31) nicht mehr senk-recht zu den Abscissen ge-zeichnet sind 3 ). Wird dieOrdinate BD in die unendlichnahe Lage bewegt, so dass sieum die Augenblicksveränderungcd zunimmt, während AB umdie Augenblicksveränderung Bb — De wächst, so findet in Folge derAehnlichkeit der Dreiecke dcD und DBT die Proportion stattTB : BD — De (oder Bb) : de.
Die Beziehung zwischen DB und AB geht aus der Curvengleichunghervor. Aus ebenderselben erhält man nach den Vorschriften derersten Aufgabe das Verhältniss der Fluxionen von AB und BD, unddieses Verhältniss lässt TB bei gegebenem BD finden. Alsdannberührt DT die Curve in D.
Ueber die Inflexion hatte Newton unklare Vorstellungen 1 ).Er meint an einer Stelle in dem Punkte D sei ein Uebergang voneinem convexen zu einem concaven Curventheile 5 ), wenn AT (mit-hin auch BT oder die Subtangente) einen kleinsten Werth besitze.Er meint an einer zweiten Stelle, im Inflexionspunkte sei die Neigung
n b
') Hinc deduci potest notissima regula Iluddenii. 2 ) Opuscula Kewtoni I, 89.3 ) Ordinata faciens angulum quemvis datum cum alia recta AB quae Basis estvel Abscissa. J ) Ebenda I, 91 und 103. 5 ) punctum quod separat partem con-
vexam a concava.