Newtons u. Leibnizens erste Entdeckungen i. Gebiete d. Infinitesimalrechnung. 169

der Tangente zur Abscisse ein Maximum oder Minimum. LetztereBetrachtung ist ziemlich richtig, sofern das Maximum oder Minimumder ersten Ableitung der Ordinate nach der Abscisse nur dann ein-treten kann, wenn die zweite Ableitung Null ist.

Andere Methoden der Tangentenbestimmung, acht an der Zahl,folgen, auf welche wir nicht näher eingehen.

In der fünften Aufgabe wird die Grösse der Krümmung 1 ),welche irgend eine Curve in einem bestimmten Punkte besitzt, unter-sucht. Kreise, heisst es, hätten an allen Stellen eine und dieselbeKrümmung, und bei verschiedenen Kreisen stehe dieselbe im reci-proken Verhältnisse der Durchmesser. Eine andere ('urve, d. h. einesolche, die kein Kreis ist, kann in einem Punkte durch sehr vieleKreise von der concaven Seite her berührt werden. Ist einer dieserBerührungskreise so beschaffen, dass kein anderer innerhalb dessenC'ontingenzwinkel mit der Curve verläuft, so könne man von ihmsagen, er habe im Berührungspunkte die gleiche Krümmung wie dieCurve , sein Mittelpunkt sei dann Krümmungsmittelpunkt, seinHalbmesser Krümmungshalbmesser der Curve 2 ). Dieser sei, heisstes, das zwischen dem Krümmungsmittelpunkte und der Curve ge-legene Stück der zur Curve senkrecht gezogenen Geraden. Zieheman in drei Curvenpunkten Senkrechte zur Curve, so schneidet dieSenkrechte im mittleren Curvenpunkte die beiden anderen in zweiPunkten, die um so näher zusammenfallen, je näher die Curvenpunktebei einander liegen. Werden die drei Curvenpunkte zu einem, diedrei Senkrechten mithin auch zueiner, so ist nur ein Durchschnitts-punkt der Senkrechten vorhanden,und dieser ist der Krümmungs-mittelpunkt, was von selbst offen-bar ist 3 ). Newton geht sodannzur Bestimmung des Krümmungs-halbmessers über. Die CurveADd (Figur 32) ist auf die Ab-scisse AB = x und die zu ihrsenkrechte Ordinate BD — y be-zogen. TD ist die Berührungs-linie in D, DC und dC sind unendlich nahe bei einander liegendeSenkrechte zur Curve, die im Krümmungsmittelpunkte C einanderschneiden. Cg ist ein auf der Ordinate von C beliebig angenommenes

l’ig. 32.

*) Opuscula Neivtoni I, 104—125: Quantitas curvaturae.vaturae, radius curvaturae. 3 ) Quod per se patet.

s ) Centrum cur-