Comhinatorische Analysis. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

oder ob diese Aufgabe so zu sagen ihre Asymptote habe 1 ), d. h. obes einen bei beliebiger Häufung der Beobachtungen dennoch nichtüberschreitbaren Grad der Wahrscheinlichkeit, das wahre Verhältnissder Fälle gefunden zu haben, gebe. Man sieht, dass Jakob Bernoulli hier das Gesetz der grossen Zahlen enthüllt hat. Das Gesetzselbst, darin hat er ganz Hecht, war keineswegs neu. Wir wissen,dass Cardano ( Bd. II, S. 495) es schon ziemlich deutlich aussprach,aber auch darin hat er Hecht, dass noch nie versucht worden war,das Gesetz mathematisch zu beweisen. Der Bernoulli’sche Beweis-),der sich auf die Binomialentwicklung und nicht grade naheliegendeEigenschaften der Binomialcoefticienten, insbesondere des mittleren,stützt, ist allzu verwickelt, als dass er in der uns gebotenen Kürzehier mitgetheilt werden könnte. Spätere Bearbeiter der Wahrschein-lichkeitsrechnung haben ihn vereinfacht und dadurch die Richtigkeitdes Gesetzen nur um so zweifelloser festgestellt.

Gemeinschaftlich mit der Ars Conjectandi hat Nielaus I. Bernoullieinen französisch geschriebenen Brief über das Ballspiel, das sogenannteJeu de paume, veröffentlicht 3 ). Auch dieser Brief rührt, wie XielausBernoulli in der Vorrede versichert, von Jakob Bernoulli her. Erbehandelt jenes Geschicklichkeitsspiel unter der Voraussetzung, dassdie Kunstfertigkeit der einzelnen Spieler aus zahlreich durch dieselbenabgelegten Proben bekannt sei. Das ist wieder eine Wahrscheinlichkeit a posteriori, und der Briefschreiber bedient sich hier wiein der Ars Conjectandi dieses Wortes, das nunmehr der Wissenschafterworben war. Als Beispiel der Wahrscheinlichkeit a posteriori dienteine unbekannte Menge weisser und schwarzer Zettel, die in einemSäckchen vereinigt einzeln heransgezogen und sofort wieder hinein-geworfen werden, worauf jedesmal auf’s Neue gehörige Mischung derZettel vorausgesetzt ist. Man könne beweisen' 1 ), dass das Verhältnissder so gezogenen beiderfarbigen Zettel von dem der wirklich vor-handenen schliesslich so gut wie gar nicht abweiche, so dass dieGleichheit der beiden Verbältnisszablen zur moralischen Gewissheitwerde 5 ).

Auf die Ars Conjectandi, deren hohe wissenschaftliche Bedeutungschon aus unserem Auszuge erkennbar sein dürfte, folgte im gleichen

’) -Ire Conjectandi pag. 225: an vero ProbJema, nt sie dicum, suam liabeatAsymptoton. *) Ebenda pag. 228—258. Ein sehr übersichtlicher Bericht beiEggenberger, Beiträge zur Darstellung des Bernoulli'schen Theorems etc. inden Mittheilungen der naturforschendeu Gesellschaft in Bern . Jahrgang 1893,S. 121—129. ®) Auf dem Titelblatte des Druckes von 1713 heisst es: Epistola

Gallice scripta de jAtdo pilae reticularis. ') etant meine une chose demoutree.b ) qu'it sera moralement certain.