Reihenlehre.

Differenzenrechnung.

3t5 7

d 3 x

d-z

dx*

d 3 z dz (d 9 -z\-

d 3 x dx 3 dx ' \dxv

dz 3

/dz\ 3 ’

\rf x)

dz 3 /dz\>

\d x)

d 4 x

dx 4 \d xi

’ MV'

dx 3 d t s d x ' Irfa: 3 /

Von einer bei Taylor an zwei Stellen seines Buches 1 ) behandeltenDifferentialgleichung wird im 100. Kapitel die Rede sein.

Einen wichtigen Abschnitt der Methodus Incrementorum, um dessen -willen wir eigentlich die ganze Schrift grade in diesem 97. Kapitelbehandeln, bildet der siebente Satz von der Taylor’schen Reihe.Audi hier sei uns gestattet, durch eine Taylor nicht angehörendeBezeichnung, insbesondere durch Benutzung von mit Index versehenenzl für die auf einander folgenden Differenzen, die Taylor’schen Er-örterungen durchsichtiger zu machen. Sei z die gleichmiissig Ver-änderliche und zl z ihre jedesmalige Veränderung. In Abhängigkeitvon z ist eine andere Veränderliche x, deren auf einander folgendeDifferenzen zlx, zl~x, zl :i x . . . die Veränderungen von x, von zlx,von zl' 1 x . . . bezeichnen, welchen diese unterworfen sind, während zum zl z zunimmt. Folgende Werthe gehören mithin zusammen: z undx, z - f- zlz und x -j- zlx, z -|- 2zlz und x + 2 zlx -f- zl^x, z + 3 zlzund x -f- 3 zlx -(- 3 zl 2 x -)- zl 3 x. Die auftretenden Zahlencoefficieiltensind die der Binomialentwicklung, das sonstige Bildungsgesetz istnicht minder einleuchtend, und so erkennt man, dass zu z -)- n . zlzder Werth gehört:

x -f- ii ■ zlx -(-

n(» -

1 .2

D .., . n{n — 1)(« —21 „ .

- zi-x-\ — 1 ——p--— d x +

+ zl n X.

Nennt man nzlz — v und (n — 1 )zlz = v', ferner (n — 2)zlz = v"

u. s. w., also auch n = \ , n — 1 = V - , n — 2 = V - u. s. w., so

’ dz’ dz’ JZ ’

wird der zu z -j- v zugehörige Werth von x in der Gestalt

I V zlx . vv’ d 3 x . vv' v" d 3 X .

^ 1 dz ' l d Z~ 1 1 * 3 d Z 3 i

erscheinen. Ist v ein endlicher Werth, während gleichzeitig zlz indas unendlichkleine dz übergeht, womit naturgemäss auch der Uebergang der Diflerenzquotienten von x in Differentialquotienten verbundenist, und n sich als unendlich gross erweist, so sind die v, v, v"...nicht mehr zu unterscheiden. Dann geht also vv in v 2 , vv'v” in v süber u. s. w. Man erhält alsdann als Werth von x, während z inz -f- v überging, die Reihe:

-) Ebenda pag. 21—23.24*

*) Methodus Incrementorum pag. 17 und 20 — 27.