97. Kapitel.
v d x
1 . 2.3 d z
1 dz
1 . 2 dz'
und das ist die Taylor’sche Reihe, wie sie benannt zu werdenpflegt, seit ihr Simon Lhuilier 1786 in einer von der BerlinerAkademie gekrönten und auf ihre Kosten gedruckten Preisschrift 1 )diesen Namen beigelegt hat. Wir bemerken, dass Taylor auch denFall eines negativen v in Erwägung gezogen hat 2 ), und dass erfand, dass die Reihe für den zu s — v gehörigen Werth von x imVorzeichen altemirend wurde, während der absolute Werth der Gliederkeine Veränderung erlitt. In wie weit Taylor sich bei Verfassungder Methodus Incrementorum über die Möglichkeit der Anwendungseines Satzes zur Reihenentwicklung einer Function einer zweitheiligenGrösse klar gewesen sein mag, ist kaum zu sagen. Wirkliche Reihen-entwicklungen von der genannten Art hat er dort jedenfalls nichtvorgenonnnen.
Eine andere immer wieder durch die Bezeichnung sehr schwerverständliche Reihenentwicklung ist im elften Satze 3 ) gelehrt. SeiJ s . dr in der Form •rs-j-P angenommen. Differentiation bringts . dr = ,s . dr -f- r . ds -j- dp hervor. Daraus folgt dp = — rds und
-j- q über
r~ d s s
Daraus folgt
Taylor geht weiter zur Annahme
Differentiation liefert r
II ö |r +
r 2 d*s
2 d r
und
r- d°s
Das gleiche Verfahren, welches auf nichts anderes hinausläuft als aufeine fortgesetzte Anwendung des factorenweisen Integrationsverfahrens,kann in beliebiger Wiederholung angewandt werden und liefert