Algebra.

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Die vier Aufgaben verlangen: durch 4 gegebene Punkte eine Parabelzu legen; durch 5 gegebene Punkte einen Kegelschnitt zu legen;durch 4 Punkte einen Kegelschnitt zu legen, welcher in dem einengegebenen Punkte eine gegebene Gerade berühre; durch 3 gegebenePunkte einen Kegelschnitt zu legen, der zwei von den gegebenenPunkten als Berührungspunkte mit zwei ebenfalls gegebenen Geradenbesitze. Das sind Aufgaben, welche Newton (S. 200) schon im 5. Ab-schnitte des II. Buches seiner Prineipien aufgelöst hatte, für welcheaber in der Arithmetica universalis andere Constructionen angegebensind. Der Gedanke beruht natürlich immer darauf, mit Hilfe dergegebenen Elemente z. B. der 5 Punkte einen weiteren Kegelschnitts-punkt zu ermitteln; was man alsdann unter Benutzung von irgend 5unter den schon bekannten Punkten beliebig wiederholen kann.

Nach den öl Aufgaben, sagten wir (S. 378), gelangten die For-men der Gleichungswurzeln zur Untersuchung. Eine Gleichungkann mehrere Wurzeln haben 1 ), und man darf sich darüber nichtwundern, weil auch die in Gleichungen gebrachten Aufgaben aufmehrere Arten zu lösen sind, zwei Kreise z. B. nicht bloss einenDurchschnittspunkt, sondern deren zwei haben. Eine Gleichung kannso viele Wurzeln haben als der Exponent ihres Grades angiebt, jeden-falls nicht mehr 2 ). Die Wurzeln selbst sind entweder affirmativ odernegativ und einige darunter nicht selten unmöglich 3 ). Hat eineGleichung keine unmögliche Wurzel, so ist die Anzahl der affirma-tiven Wurzeln der der Zeichenwechsel gleich, alle übrigen AVurzelnsind negativ 4 ). Man beachte den Unterschied dieser Ausdrucksweisevon der bei Descartes (Bd. II, S. 725—72ö). Dort Zeichenwechselund Zeichenfolgen als Maassstab für die mögliche Anzahl positiverund negativer Wurzeln, hier die Anzahl negativer AVurzeln durchden Ausdruck die übrigen bestimmt, offenbar mit Rücksicht darauf,dass weiter oben der Gleichung «ten Grades nicht wirklich n AAhir-zeln, sondern höchstens n Wurzeln zugesprochen waren. Das Vor-handensein unmöglicher AVurzeln macht das Abzählen von Zeichen-wechseln und Zeichenfolgen allerdings unfruchtbar, und deshalb fragtNewton 5 ), in welcher Anzahl unmögliche AA 7 urzeln Vorkommen?

Auch hier kommt es auf ein Abzählen von Zeichenwechseln an,jedoch nicht bei den wirklich der Gleichung angehörenden Zeichen,sondern bei künstlich errechneten. Sei die Gleichung

') Arithmetica universalis pag. 180. “) Ebenda pag. 181: Totest rero

aequatio tot habere radiees quot sunt dimensiones ejus, et non plures. s ) Ebendapag. 182. *) Ebenda pag. 184: Tot enim sunt radiees affirmativae quot signo-

rum in continua Serie mutationes de -\- in — et — in caeterae negativae sunt.b Ebenda pag. 184—187.