08. Kapitel.
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ziehungsweise CF gleichberechtigt, und es liegt nicht der geringsteGrund vor, von jenen Paaren das eine Stück dem anderen vorzuziehen.Unpaar dagegen tritt der zwischen E und F in der Mitte liegendePunkt Gr auf, und man wird daher am zweekmässigsten ihn zu be-stimmen suchen, und zwar auch mittels eines nur einmal auftretendenStückes. Als Mittelpunkt der Hypotenuse EF des rechtwinkligen
EF
Dreiecks AEF liegt G auf dem mit als Halbmesser um A als
Mittelpunkt beschriebenen Kreise, braucht also nur auf diesem Kreisefestgelegt zu werden. Es giebt ferner keine der CA ähnlich gearteteGerade in der Figur, und auf sie ist der Punkt G durch die nureinmal mögliche Senkrechte G K zu beziehen, wie umgekehrt eine inK senkrecht zu CA gezogene KG den vorerwähnten Kreis in Gschneidet. Deshalb suche man endgiltig den Punkt K, sei es, indemman AK oder CK als Unbekannte der Aufgabe betrachtet. Xewtonnimmt AK=y, AC = e, EG = b und behauptet, man finde als-dann n~ =- c l) + v fr 2 ; während andere Annahmen zu einer Glei-
chung 4. Grades führen. Die von Newton angegebene Gleichung lässtsich folgendermassen herleiten. Wegen CD BF ist j_ EC 1) — EFAund 45° + ECB = 45° + EFA. Aber
45° + EC-D = BC-A + ECD = 90° — A CE = 90° — KCG = KG C.
Andererseits ist
45° + EFA = 45 u + G FA = 45° + G A F= KA F + G A F=KA G.In den beiden rechtwinkligen Dreiecken KGC und KAG sind alsoauch die grösseren spitzen Winkel einander gleich, und die Dreieckesind ähnlich. Folglich ist
CA' = HK’ (■■K.AK=GK i =AG»-AK i oder (.e +y)y=b*-y s ,
und das stimmt überein mit f/ 2 =-*- e\) -j- b 2 .
Die 57. Aufgabe 1 ) lässt zwei gegebene Winkel sich so um ihreScheitelpunkte drehen, dass der Durchschnittspunkt zweier ihrerSchenkel eine grade Linie beschreibt, und fragt alsdann nach demOrte des Durchschnittspunktes der beiden anderen Schenkel. Wirwerden im 99. Kapitel auf diese und auch auf die vier zunächst aufsie folgenden Aufgaben zurückkommen.
Diese vier, zugleich die letzten eingekleideten Aufgaben 2 ) sindganz besonderen Inhaltes und auch räumlich von den anderen ge-trennt. Etwa eine halbe Seite ist frei gelassen, bevor die 58. bis 61.Aufgabe im Drucke unmittelbar an einander schliessend nachfolgen.
‘) Arithmetica universalis pag. 160—170.
! ) Ebenda pag. 171—178.