Algebra.

301

scher Gleichungen möglich sei (Bd. II, S. 726—727). Die Methode,sagt er, rühre von Descartes her, empfehlenswerth findet er sie nicht.

Nachdem die algebraische Auflösung von Gleichungen nach denverschiedensten Richtungen durchgesprochen ist, wendet Newton sichgeometrischen Methoden zu, zuerst unter Anwendung der Conchoide 1 ),für deren Berechtigung er eintritt. Gleichwie Archimed in seinenWahlsätzen die Conchoide zum Zwecke der Winkeidreitheilung alsbekannt voraussetze und Pappus das Gleiche thue, dürfe man jeneCurve zu jeder Zeit anwenden. Der Zweck der Benutzung geometri-scher Hilfsmittel bei Gleichungsauflösungen sei die Auffindung ersterNliherungswerthe, von denen aus man dann rechnend den wahrenWurzeln so nahe zu kommen vermöge, als man immer wolle. DieBenutzung der Conchoide insbesondere zur Auflösung der von ihremquadratischen Gliede befreiten kubischen Gleichung x A -f- qx = r, wo<1 und r positiv sein sollen, ist folgende (Eig. 51). Eine beliebigeStrecke KA werde = n ge-setzt und auf ihr KB = <l

n

abgemessen. BA wird in Chalbiert und von K aus mitKC als Halbmesser ein Kreis-bogen beschrieben, in welchem

eine Sehne CX = \ einge-zeichnet wird, dann wird AXgradlinig verbunden. Mittelsder Conchoide ist es möglich,von K aus die Gerade KEYso zu zeichnen, dass das zwischen den verlängerten A X und CXenthaltene Stück EY=AC sei, so ist X Y die Wurzel der Gleichung.Zum Beweise wird KE || CX gezogen. Zunächst ist AACX^AKFund A E YX ~ E KE. Daraus folgt

ac _ cx . rx / rx\ _ kf

AK ~ KF UIK YF \— ACl KE

K B

Fig. 51.

Multiplication beider Gleichungen mit einander giebt

YX _ CX' A K ' ~ K /•;'

Daraus folgt weiter + 1 = ^ -f 1, xK+ aA-

•> Yx — YX +S !X __ CY

“• AK ~ .lA-j KE ~~ AK E'KF '

CX

KE

oder

’) Arithmetica universalis pag. ‘213—215.