Algebra.

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Eines gellt hoffentlich schon aus unserem Berichte hervor: (lassNewton eine ganz besondere algebraische Begabung besass, und dasser in der Gleichungslehre auch da mindestens erweiternd und ver-allgemeinernd auftrat, wo Andere, die er freilich nie nannte, aber mitgrösster V ahrscheinlichkeit gekannt hat, ihm den Zutritt bahnten.

Wollen wir einen weiteren theoretischen Fortschritt in der Lehrevon den Zahlengleichungen aufzuzeichnen finden, so müssen wir dieP. T. von 1717 zur Hand nehmen. Dort 1 ) hat Brook Taylor dieerste wirkliche Anwendung seiner Reihe gemacht, indem er anlialley’s Aufsatz von 1694 (S. 115) anknüpfte. Wir berichten inaller Kürze darüber, indem wir, wie jedesmal, wenn es um Taylor’seheArbeiten sich handelt, unseren Lesern nicht zumuthen, sich an seineBezeichnungen zu gewöhnen, die Gedankenfolge aber unverändertlassen. Die vorgelegtc Gleichung möge // als Unbekannte enthalten,

also etwa F(y) = a 0 y n -f- a l i / v ~ 1 -J- j- a„ = 1 > heissen. Auf irgend

eine Weise, z. B. mittels Curvendurelischnitt, sei ein Näherungswerthz von y gefunden, indem F(z) allerdings nicht 0, sondern x zumWerthe hat, aber x doch schon ziemlich klein ist. Der genaue Werthvon y kann als z -f- v betrachtet werden, wo die Ergänzung v nochzu suchen ist. Zweierlei weiss man, wovon man bei diesem Auf-suchen von v Gebrauch zu machen hat, erstens dass F(z) == x,zweitens dass F(z -j- v) — 0. Nach Taylor’s Satze ist

+ «) = F(z) + F’ (z). v +

F"{z)

1 . 2

+

. 2.3 * + 1 . 2 . 8 . 4 1, +

Ersetzt man hier F(z -(- v) durch 0 und lässt, in Würdigung desUmstandes, dass r klein sein wird, die Glieder fort, welche höherePotenzen von v als die zweite enthalten, so bleibt zur Bestimmung

von v noch F(z) -f- F’(z). v -)- — v 2 = 0, oder anders geschrieben:

x -f- x’. v -(- ~ v 2 = 0, woraus man gewinnt

Dann kann z -f- v = z 1 gesetzt werden, F(z ,) = x 1; y = z x -j- v 1!um nach dem von vorher bekannten Verfahren i\ zu finden u. s. w.Taylor setzt hinzu, man könne bei Aufsuchung der Ergänzungen vdie Quadratwurzelausziehung vermeiden. Die Gleichung

x + x’v -f- v 2 = 0

lässt sich in der Form v

= — x schreiben.

Daraus folgt

j P. T. XXX, 010-022.