Differentiiren. Integrircn. Analytische und projective Geometrie. 42f)

CO und SIT, zu bestimmen, untersucht Maelaurin, wie oft eine durchP hindurchgehende Gerade DE diesen Ort schneiden kann? WürdeP eine Gerade DE stetig durchlaufen, und man unter dieser Voraus-setzung nach dem Orte von 0 fragen, so wäre derselbe, wie im erstenSatze des ersten Abschnittes ersten Theiles der Geometria organica(S.^419) bewiesen ist, ein durch S hindurchgehender Kegelschnitt, derft L , heissen mag. Nun schneiden einander ft, und ft ä als Kegelschnittein 4 Punkten, also ausser in S etwa noch in ilf, X, T. Gelangtfolglich Q hei der wirklich von diesem Punkte durchlaufenen Bahn ft,nach M, N, T, dann und nur dann bekommt P eine Page, welcheder Geraden DE angehört. Das besagt uns aber, dass DE den Ortvon P in 3 Punkten und niemals in mehr als 3 Punkten schneidet.Der gesuchte Ort muss also vom dritten Grade sein.

Der zweite Abschnitt 1 ) ist eine Erweiterung des zweiten Ab-schnittes des ersten Theils. Dort (S. 421—422) wurde ein Winkel umseinen Scheitelpunkt gedreht, ein anderer verschob sich mit seinemScheitelpunkte auf einer gegebenen Geraden und sein einer Schenkelging dabei fortwährend durch einen festen Punkt und traf den einenSchenkel des gedrehten W inkels auf einem vorgeschriebenen Baum-gebilde. Das Alles bleibt genau ebenso, nur wird, was wir eben einvorgeschriebenes Baumgebilde nannten, und was im ersten Theile eineGerade war, jetzt eine Linie «ten Grades. Sie mag C n heissen, wennauch Maelaurin diese Bezeichnung nicht kennt. Der geometrische Ortdes Durchschnittspunktes P der anderen V inkelsclienkel ist dann vomGrade 3 n. Das traf ja auch in dem Sonderfalle des ersten Theileszu, wo n = 1 war und P eine Linie 3. Grades beschrieb. Der Beweisist dem vorher aus dem ersten Abschnitte des zweiten Theils berich-teten durchaus ähnlich. "Würde P eine Gerade DE stetig durch-laufen, so müsste Q eine Linie 3. Grades C 3 beschreiben. C 3 und C nschneiden einander in 3« Punkten il/,, AP, . . . M s „. Sowie also Qbei dem Durchlaufen von C n zu den Punkten il/,, M. 2 , . . . J\I 3n ge-langt, und nur dann, liegt P auf der DE, welche folglich den Ortvon P in 3 n Punkten schneidet, d. h. dieser Ort ist eine Linie 3ntenGrades. Verfolgt der Scheitel des sich verschiebenden Winkels auchkeine Gerade, sondern eine Linie mten Grades 2 ), so steigt die Glei-chung des Ortes von P auf die 3«mte Potenz. Auch die Entstehungder Linie 4. Grades, wenn die Scheitel der beiden erzeugenden Winkelund ebenso der Durchschnitt eines Schenkelpaares jene eine Geradebeschreiben, die (S. 423) im dritten Abschnitte des ersten Theils ge-lehrt worden war, findet Verallgemeinerung 3 ). Sobald Linien vom

’) Geometria organica pag. 87 — 94 . 8 ) Ebenda pag. 89 . 3 ) Ebenda pag. 90 .