Differentialgleichungen.

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ausserdem nehme er di/ = u dp an, wo dp fortwährend eonstant bleibe.

Fortsetzung der Differentiation nach « bringt '[ * = -’ 1 ,

n 1 ■ O ,/pS ( ]p>

d'l

hervor, und die gegebene Differentialgleichung nimmt died >] d u .

x’" . - = 4- u-.

d p d p ‘

Setzt man

d-y d u

dp* d pGestalt an

dq dq dp du du dp

dp dx'dx’ dp dx’dx

nnd vervielfacht die dadurch neuerdings umgeformte Gleichung mit

= —, so entsteht x m y* = ~ -(- --, eine Differentialgleichung,dx q 7 dx dX 1 q 7 ° n 7

welche zwar erster Ordnung ist, bei welcher aber die Trennung der\ eränderlichen unter den ganz allgemeinen Voraussetzungen, welchefür q und u gemacht werden mussten, nicht gelingt. Iticcati versuchtes nun mit der weitaus engeren Annahme, dass q nur von x alleinabhänge und zwar eine Potenz x n sei. Unter dieser Voraussetzungschliesst er seinen Aufsatz mit der Aufgabe: Wertlie von n zu er-mitteln, welche die Trennung der Veränderlichen gelingen lasse, wäh-rend der Werth des Exponenten vi keiner Beschränkung unterworfensein soll.

Unmittelbar hinter lliecati’s Aufsatz sind Bemerkungen des damalsetwa 22jährigen Daniel Bernoulli (S. 80) abgedruckt, aus welchenhervorgeht, dass Xiclaus I., Xiclaus II., aber auch Johann undDaniel Bernoulli sich mit der Riccatischen Gleichung, welchein etwas anderer Schreibart

x* '{- 1 - 4- u 2 = nx m + 2n ~ idx 1

heisst, beschäftigt haben, und dass sie alle unabhängig von einanderarbeitend zu dem gleichen Wertlie von n gelangten, welcher dieTrennung der Veränderlichen gestattet 1 ). Daniel gab seine Auflösungin der damals so beliebten undurchsichtigen anagrammatisclien Form.

Im Xovemberhefte 1723 der A. E. kam Riccati wiederholt aufseinen Aufsatz zurück 2 ). Er gab seiner Gleichung jetzt die einfacheraussehende Gestalt

x m dx = du -(- -,

^ x n ’

fügte aber die von ihm seihst ermittelten, die Trennung der Ver-änderlichen ermöglichenden Bedingungen für n nicht bei, während er

’) A. E. Supplementa VIII, 74: Praeseribit frater meus, se illud solvisse; sedpraeter ipaum alii quuque existunt solutores, solutionem enim erueruut Pater etPatruelis Kicolaus Bernoulli pariter ac egornct; eonon vero anahjses nondum vidi,excepta illa a Parentc exeogitata, quae Jtatione operationis et in procedendi modoa me diversa est. *) A. E. 1 72.'! pag. 502—510.