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100. Kapitel.

so dass beide Curvenstücke einen gradlinig darzustellenden Unter-schied besitzen. Im folgenden Jahre 1715 gab Fagnano im G. L. I.XXII die Auflösung seiner Aufgabe unter Verallgemeinerung derselbenauf Parabeln verschiedener Art, sofern dieselben nur der Gleichung

m-f-2

!/= - genügen, wo m beliebig postiv oder negativ, ganz

o

(t “

oder gebrochen gewählt werden darf. Wird s für die Länge desBogens, t für die Länge der Berührungslinie vom Berührungspunktebis zur Abscissenaxe gesetzt, und bedeutet Bestriehelung die Differen-tiation nach x, so ist s=j |/l + y'*dx und t — y , ]/l -f- y ' 2 . Die ge-

m

gcbene Parabelgleichung liefert y'= und ^ „ ^1 + (—)"*

nebst a

/V>+Uj

— dx = —

— t +

i x i/i.... ( x V'‘+ m r dx+ * V + U + « + */ y

/ • dx

VTT^f’

wie sich durch nachträgliche Differentiation leicht als wahr erkennenlässt. Demzufolge ist

dx m -f- -2

fv i

+ (tY

(s - t).

Fig. 71.

sind, die beiden Gleichungen stattfinden

Die Einsetzung der Grenzen,um von dem unbestimmtenIntegrale zu dem bestimmtenüberzugehen, erfolgt in derWeise, dass, wenn (Figur 71)P, P,, (J, Vi Corvenpunktebedeuten, denen die Abscissenx 0 , x 1} z 0 , angehören, undbei welchen die entsprechen-den Längen der Berührungs-linien Pli, I\ P L , ( L )S,

= (arc Al\ — arc A F) — ( 1 \ 11 , — Pli)= arc Pl\ — (1\ P, — Pli)