Algebra bis 1745.

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man nun pF> G voraus, so geht die letzte Ungleichung in ^ > 1

oder pG > H über. De Gua führt alsdann einige Kunstausdrüekeein. Zwei aufeinanderfolgende Zeichen, Antecedant und Conscqumt,bilden eine Zeichencombination und zwar eine Permanenz odereine Variation, d. h. eine Zeichenfolge oder einen Zeichenwechsel.Das Gleichungspolynom einer lauter reelle Wurzeln besitzendenGleichung wird nun mit x + p vervielfacht, wo p > 0. Das Productwird alsdann genau dieselbe Anzahl von Variationen besitzen wie<b(V). Sei etwa in dem mit x n links beginnenden beim Fort-

schreiten nach rechts Fx n ~"‘ — Gx n ~ m ~ i die erste Variation, d. h.alle Glieder x n -f- • •• -j- Fx n ~ sollen positiv sein. Nach Multipli-cation mit x + P ist das x n— enthaltende Glied unbedingt positiv.Dann kommt (pF — G)x n ~"‘, auf welches (— pG + H)x n '~ m ~ l folgt,wenn in cj>(.r) hinter — Gx n ~ m ~ 1 das Glied + Hx n -"‘~' i stand.Erstens sei pF — G < 0, so findet gegen das Glied mit x n ~ "‘+ 1 eineVariation statt, der Zustand des ursprünglichen Gleichungspolynorasist also hier unverändert. Zweitens sei pF — G > und rufe einevorher nicht vorhandene Permanenz hervor. War II in 4>(x) mitdem —Zeichen behaftet als — Hx n ~ m ~ 2 , und war demnach zwischen— Gx n ~" l ~ 1 und — eine Permanenz, so ist — pG — //<<>,

also zwischen pF — G und — p G — II eine Variation entstanden,welche die vorher verloren gegangene ersetzt. War aber H mit demin <t> (x) eine zweite Variation hervorrufenden -j- Zeichen verbunden,so muss zwischen pF—G und — pG -(- H eine Variation statt-finden, weil nach dem oben erörterten Zusatze p F > G nothwendigj>G> H zur Folge hat. Zwischen Gliedern in <t>(V) mit F, G, Hals Coeflicienten kann also höchstens eine Variation verlorengehen, nämlich die erste. Schreibt man <t>(;z) und (x + p) <&(x) inzwei Zeilen unter einander, so dass die höchsten Glieder x n und x n + 1einander in ihrer Stellung entsprechen, so hat man:

<&(x) = x n H- \-Fx n ~"‘ —Gx"-’“- 1 Hx n -" l ~- ■■ ■,

Le+p) 0irr) = x n + 1 -|-(- F\x n ~" ,+1 + G l x n -"‘ — H l x n -"‘^ i •••,

als die Anfänge der beiden Zeilen. In der unteren Zeile steht hinter7', das entgegengesetzte Zeichen als in der oberen Zeile hinter F.So weit man die Glieder von 0(a:) verfolgt, werden, wenn fortlaufendVariationen vorhanden sind, ebensolche in (x -f - p) d* (x) auftreten,bis einmal in <t> (x) eine Permanenz kommt. Diese verwandelt sichnach dem Bewiesenen in eine Variation, und die Gleichheit der An-zahl der Variationen in d> (x) und (x -f- p) (x) ist hergestellt. Hinterder Permanenz wird alsdann irgend eine neue Variation in