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105. Kapitel.

gestatten, die gleichen Schlüsse neuerdings zu ziehen. Folgt über-haupt keine Permanenz mehr in d>u), wechseln die Glieder hinterJlx n ~"‘~- fortwährend mit dem Zeichen, so sieht der Schluss derbeiden Zeilen so aus:

4>(F) -- Lc n -"‘- 3 -f- Kx n -"‘~ i • ■ • 4 - Z,

{x + ]>)<$>(x) - -1- I l x n ~ m - a - - K 1 x n ~ m - S • • • -f Zpx + pZ,

d. h. am Ende der unteren Zeile tritt eine neue Variation ein, unddie Gleichheit der Anzahlen von Variationen ist abermals hergestellt.W ird dagegen <t>(aM bei p > 0 mit x — p vervielfacht, so bleibt dieAnzahl der Permanenzen unverändert. Der Beweis wird mittelbargeführt. Aus <t>(a:) — Ö entsteht <tM —-;?/) = 0 mit Wurzeln, welcheden entgegengesetzten Werth wie die von d>(,T) = 0 haben, indem xdurch y ersetzt und jedem Gliede von ungrader Potenz das entgegen-gesetzte Vorzeichen bei gelegt wird. Jede Permanenz wird dadurchin eine Variation, jede Variation in eine Permanenz übergeführt, unddie neuen Variationen verändern ihre Anzahl nicht, wenn — y)mit y -f- p vervielfacht wird. Kückeinsetzung von y = — x ver-wandelt abermals jede Variation in eine Permanenz und umgekehrt,und somit besitzen <t> (x) und (x — p i <t> (x i gleichviel Permanenzen.Aus den beiden Sätzen folgt aber von selbst die Deseartes’seheZeichenregel mit ausschliesslich reellen Wurzeln.

Eine Lücke hat De Gua’s Beweis, wie wir ihn Wiedergaben,allerdings. Wir haben nur pF ^ G und nicht pF = G berück-sichtigt. De Gua hat diese Möglichkeit keineswegs übersehen. Ersagt pF — G lasse in (pc -)- p) <t> ( x) ein Glied zum Wegfall kommen,dessen Coeflicient verschwinde. Ist nun die Anzahl der Variationenin [x -j- p 1 0(a;) dieselbe wie in d>(a;), so lange der verschwundeneCoeflicient wegen pF ^ G vorhanden war, beliebig wie klein positivoder negativ er sein mochte, so kann kein Unterschied entstehen,mag das Verschwinden als -f 0 oder als —0 aufgefasst werden.

De Gua lässt dann seiner ersten Entwicklung sofort eine zweitefolgen, welche einen geometrischen Gedankengang einschlägt, dochsind auch rein algebraische Sätze in diesem Anhänge vorhanden wieder, dass eine Gleichung, deren Glieder sämmtlich gleiche Vorzeichenhaben, unmöglich positive Wurzeln besitzen kann, dass das Fehlenvon mehreren Gliedern nach einander das Vorhandensein complexerWurzeln in sich schliesst u. s. w.

De Gua hat, wie wir (B. 557) sagten, 1741 noch einen zweitenAufsatz in den Veröffentlichungen der Pariser Akademie zum Druckgegeben: licchcrcltc du nombre des meines reelles ou imaginaires 1 ).

’) Histoire de l’Acudemie des Sciences de r<iris. Annee 1741. pag. 435—494.