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100 Kapitel.

-f- tx —(- u

— tx - ft

u grad

u ungrad

m

Wurzeln von y = 0 ist

Wechsel

ist. Die

ist. Die Gleichung ersten Grades x — « = 0 hat aber

m

m

einen Zeichenwechsel und eine positive Wurzel, und nun schliesstKästner auf die Wahrheit des Satzes bei immer höherem Gleichungs-grade.

106. Kapitel.Algebra seit 1746.

War nunmehr seit 1741 der Beweis der Deseartes’schen Zeichen-regel gegeben und damit die theoretische Algebra wesentlich gefördert,so war doch die eigentliche Grundlage der Lehre von den Gleichungennoch nicht gesichert. Albert Girard hatte zwar 1629 ausgesprochen,dass jede Gleichung so viele AVurzeln besitze als ihr Grad anzeigeiBd. II, S. 718). Descartes hatte 1737 den Satz einschränkend ge-sagt, jede Gleichung könne so viele unterschiedene AVurzeln oderAVerthe besitzen, als ihr Grad zu erkennen gebe i Bd. II, S. 724).Xewton hatte nicht minder vorsichtig in seiner Arithmctica uni ver-sa lis behauptet, eine Gleichung könne so viele AA r urzeln haben, alsder Exponent ihres Grades besage, jedenfalls nicht mehr ( S. 387).Bewiesen hatte Niemand, wie es sich mit der Anzahl der Gleichungs-wurzeln verhalte, wenn man alle AVurzeln, positive, negative undcomplexe, als gleichberechtigt ansehe, und in welcher Beziehung jedesGleichungspolynom zu einfacheren Factoren stehe.

Euler dürfte der Erste sein, von dem wir bestätigen können,dass er der Frage näher trat. Im December 1742 schrieb er 1 ) vonBerlin aus an den in Petersburg befindlichen Goldbach, er sei mitNiclaus I Bernoulli in einem Briefwechsel über die Integration von

Ausdrücken von der Gestalt ^ ^ - dx begriffen.

Es komme auf die Zerlegung des Ausdruckes in Partialbrüche an,und zu diesem Zwecke auf die Zerlegung des Nenners in Factoren.Er fährt dann fort: Weil aber öfters einige von diesen factoribus

') Correspondance mathematique (Fass) I, 170—171.