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106 . Kapitel.
Doctordissertation von 1799, welche gleichfalls dem Beweise des er-wähnten Fundamentaltheorems der Algebra gewidmet war und alsEinleitung alle entsprechenden Versuche früherer Schriftsteller einerstrengen Prüfung unterzog, D’Alembert’s geometrische Sprache, wennman so sagen darf, ins Analytische zu übersetzen für nothwendighielt. D’Alembert nimmt ein rechtwinkliges Coordinatensystem derz und y an, welches in T seinen Anfangspunkt besitzt, und aufwelches er eine Curve bezieht, welche durch T hindurchgeht, d. h.also, deren Gleichung durch y — 0, z = 0 erfüllt wird. D’Alemberterwähnt zwar 1 ) auch die Möglichkeit eines Zusammentreffens vonz = 0 mit y — co, welches TZ als Asymptote der Curve erkennenlasse, kommt aber im Verlaufe der Abhandlung nicht mehr daraufzurück. In jener Voraussetzung, dass die Curve durch T gehe, müssees thunlich sein eine, so lange z sehr klein ist, sehr convergente
m r t
Reihenentwicklung y = az n -f- bz s + cz“ -|-anzusetzen, in welcher
die Exponenten wachsen, ^ < • • • ist. Die andere nur ein-
mal angedeutete Möglichkeit von y = oe bei z = 0 würde bedungenhaben, dass m und vielleicht auch noch Zähler anderer Exponentennegativ gewählt worden wären. Mittels jener Reihe macht jedes z,wenn es nur positiv ist, y zu einer reellen Grösse. Ein negatives zentspricht entweder auch einem reellen y, wenn alle Nenner n, s, u ■■■der gebrochenen Exponenten ungrad sind, oder einem imaginären y,wenn mindestens einer der Nenner n, s, u ■■■ grad und der zuge-hörige Zähler m, r, t ■■■ ungrad ist. Neben der reellen Curve inder positiven Ausdehnung der z- Axe giebt es also einen reellenoder imaginären Curvenarm bei negativer z- Axe. Da, wie schon be-merkt, die Reihe für y bei sehr kleinem z sehr rasch convergirt, sogenügt es, statt der unendlichen Reihe nur ein Glied oder wenigeGlieder derselben zu berücksichtigen. Bei negativem z wird danny = p + aV— und zwar verändert sich y nur unendlich wenig,wenn das Gleiche für z statt hat. Unendlich geringe Veränderungvon p -}- ( lV — I heisst aber unendlich geringe Veränderung von pund von q. Bezüglich der für y angesetzten Form p -f- q Y — 1erörtert D’Alembert in einem anderen Abschnitte der Abhandlungvon 174G den Satz, dass jede Function von beliebig vielenimaginären Grössen immer als -pqY~— 1 reellem p
und q gedacht werden kann 2 !. Nach Erledigung der vorher an-gegebenen Vorbemerkungen nimmt D’Alembert ein Polynomium
*) Histoire de l’Academie de Berlin. Armee 1746. pag. 183.pag. 195.
2 ) Ebenda