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10G. Kapitel.

Auffindung der Anzahl reeller und complexer Gleichungswurzeln ge-dacht, welche Newtou, Maclau rin, Campbell, De Gua aufgestellthätten. Allen diesen Schriftstellern sei es misslungen den richtigenWeg einzuschlagen, der einzig in der Anfertigung einer Tabelle be-stehe. Seien m, n, p, q, r ■ • ■ reelle positive Grössen und n > b > c ■ ■ •ebensolche. Jede quadratische Gleichung mit positivem, den Coefli-cienten 1 besitzenden quadratischen Gliede muss in einer der sechsFormen enthalten sein: x- + mx -f- n — 0, x~ -f- mx — n — <>,x 2 — mx n = 0, x- — mx — n = 0, x 1 -f- n = 0, x l — n = 0.Sie kann auf neun Arten aus Factoren ersten Grades entstanden sein:( x + o) (x -j- b) = 0 , (x + «) (x — b) = 0, (x — «) (x -+- b) = 0 ,(x — fl) (x — b) — 0, (x + «)/— l) (x — fl]/- l) = 0, (x + fl-|- l>y — 1) (x -f- fl — 1>Y — l) = 0, (x — fl + ^ V — l) ( x — "— b T) = 0, (x + b -f a y - l) (x -f- h a Y~- l) = <>,(x — b -j- «]/— l) (x — b — «]/— l) = 0. Alle diese Multiplica-tionen werden ausgeführt, und das Product wird auf das Vorzeichensowie auf die vergleichsweise Grösse der Coefficienten der Gliederersten und nullten Grades geprüft. Dadurch ergeben sich Bedingungenfür + m ull d + n, aus deren Erfüllung die Form der Wurzeln jedervorgelegten quadratischen Gleichung hervorgeht. Bei der cubischeuGleichung zählt Fontaine 30 mögliche Fälle von Factoren Vereinigungenauf. Wie viele solcher Fälle es bei Gleichungen 4 ,on , 5 ten u. s. w.Grades gebe, führt er nicht mehr aus. Nun sind aber auch die auf-gezählten Fälle nicht erschöpfend, da sie von der Voraussetzungfl > b > c > ■ ■ • ausgehen, während « )> ^ )> c > ■ • • erwogen werdenmüsste. Fontaine’s Vorschlag setzt unter allen Umständen eineSumme von Vorarbeiten, welche erledigt sein müssen, bevor eineGleichung n te “ Grades, bei n > 3, auf die Form ihrer Wurzeln geprüft werden kann, voraus, die so ungeheuerlich anwächst, dass mansich einen praktischen Vortheil kaum versprechen darf.

Maclaurin sprach 1723 von seiner Absicht eine Algebra heraus-zugeben (S. 548). Er starb 1740 ohne seine Absicht ausgeführt zuhaben. Sein Nachlass wurde von einer durch ihn selbst eingesetztenCommission, in welcher auch Martin Folkes sich befand, gesichtetund daraus 1748 die Algebra 1 ) zum Drucke befördert. Sie füllt306 Seiten in 8°, und ein mit neuer Seitenbezeichnung versehener

') A treatise of algebra in three jxirts containing I. the fundamental rulesand operations, II. the composition and resolution of equations of all degrees andthe different affections of their roots, III. the application of algebra and geometryto each other. To ichieh is added an appendix concerning the general propertiesof geometrical lines.