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106 . Kapitel.

Aufgabe fremden, nur durch ein Verfahren mit den Gleichungen indieselbe hineingetragenen AVurzeln. Euler macht nun einen neuenVorschlag 1 ) zur Elimination. Die beiden Gleichungen, zwischenwelchen diesmal y eliminirt werden soll, seien y"‘ — By"‘ ~' + Qy"‘~ 2— Ry m ~ 3 -f- Sy"‘~ 4 — ■•• = () und y n — py n ~ 1 + ( lV n ~~ — ry n ~ 3-(- sy n — 1 — ... = 0. Die erstere Gleichung hat m Wurzelwerthefür y, welche A, B, G, 1) ■ die letztere n Wurzelwerthe für y,welche a, l>, c, d ■■■ heissen mögen und selbstverständlich x enthalten,ebenso selbstverständlich reell oder imaginär sein können. Die beidenGleichungen können demgemäss auch (y — A) (y — B i \ y — C) (y — I>) •••= 0 und (y — er) (y — b) (y — c) (y — d) ■ ■ ■ = 0 geschrieben werden.Das gleichzeitige Stattfinden beider Gleichungen fordert, dass einWerth von y, der der ersten genügt, auch die zweite befriedige, dassalso z. B. A = a oder A — b oder A = c oder A = d ■ • • sei, oderB = a oder B = b oder B = c oder B = d ■■■ u. s. w., wofür auchgeschrieben werden kann A — a — 0, A — b = 0, A — c = 0 • • •,/> — a = 0, B — b = 0 u. s. w. und Nullsetzung des aus mn Fac-toren bestehenden Productes (^1 — a ) (A — b) (A — c) • • • (B — o )

(B —!/)■■■ (C — a) (C — //)■•■ würde die von y freie Endgleichungsein, wenn A, B, C •••, a, h, c ■■■ bekannt wären. Letzteres istzwar nicht der Fall, aber man kann entweder die grossen oder diekleinen Buchstaben sofort und die anderen hinterdrein wieder aus derEndgleichung heraus schaffen. Es war (y — a ) (y — b) (y — c) • ■ •= y“ — PU " — ' + — •••• Ersetzt man y durch .1, durch B,

durch G ■■■, so wird ( A — «) (A — b) ( A — c) ■ ■ ■ — A n — pA n ~ 1+ qA n ~ 2 — • • •, (B — n) f B — b) f B — c) • • • = B n — pB n ~ l +

qB—* -, (C — a) (G — b) (G — c) • • • C* — pC — 1 + qG“-* -

und die Endgleichung heisst folglich

Vl" — pA n ~ 1 + qA n ~ 2 -) (B n — pB“- 1 + qB n ~- -)

(G ,n — p G "- 1 + qC—* - )••• = ().

Führt man die angedeuteten Multiplicationen aus, so entsteht einAusdruck, in welchem neben Bekanntem auch Vereinigungen dergrossen Buchstaben A, B, C unter einander auftreten. Diese sindaber mittels der Girard’schen Formeln für die Summen der Wurzel-potenzen in Verbindung mit den Formeln für Bildung der Gleichungscoefticienten aus den Wurzeln durch die B, Q, B ■■■ darzustellen.Euler erläutert dann die sehr allgemein gehaltene Vorschrift aueinem bestimmten Beispiele, indem er dazu bemerkt 2 ), wenn in demBeweise noch Einiges dunkel sei, so rühre solches von der grossen

‘) Histoire de VAcademie de Berlin. Anneel748. pag. "243—246. ^Ebenda

pag. 246.