Algebra seit 1746.
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d. h. die sechs Werthe von n sind paarweise geordnet = a-j-b =u = c -(- b = — 2h « = fl + c = </, u = b + b = — ( 2 , u = fl -f- ö = r,
m = b -(- c = — r und so zeigt sich U — (u — p) (h p) (k — q)
(« -(- (?) (« — r) (m -(- r) — m 6 — • ■ ■ — p-q-r 1 mit negativem constan-
ten Gliede, weil -^-•^-^ = 3 ungrad ist. Ist nun 2 m eine Potenz
von 2, etwa 1 2 m = 2“, so kann X in zwei Factoren vom Grade
2 “~ 1 zerfällt werden, jeder dieser Factoren in zwei neue vom Grade2"~ 2 u. s. w., bis schliesslich lauter trinome quadratische Factoren mitreellen Coefficienten ermittelt sind. Ist n der Grad der vorgelegtenGleichung nicht ein 2**, so giebt es doch jedenfalls ein 2" > n mit2" — n = v, und es genügt, die gegebene Gleichung mit x" zu ver-vielfachen, um ein in lauter reelle trinome quadratische Factoren zer-legbares Gleichungspolynom entstehen zu sehen 1 ).
Gauss hat vier Einwendungen gegen diesen Beweis erhoben.Erstens sei nicht allgemein wahr, dass a, ß • ■ •, A, p • • • rational inu ausdrückbar seien. Zweitens können selbst unter der Voraussetzungrationaler Ausdrückbarkeit die Formeln für a, ß •••, A, g ••• unbe-stimmt und damit unbrauchbar werden. Drittens sei in der Annahme,in der vom zweithöchsten Gliede befreiten Gleichung sei die YVurzel-summe Null, eine Annahme von unzweifelhafter Richtigkeit, wenndie Gleichung Wurzeln besitze, diese Thatsache doch vorausgesetzt,auf deren Beweis es gerade ankomme. Viertens brauche — 2^ 2( f r ~nicht negativ zu sein, da imaginäre Werthe von q), q, r das Gegen-theil bewirken können. Wenn Euler den letzterwähnten Einwurfauch vorausgesehen 2 ) hat, so ist es doch ungenügend, was er zurHebung des Zweifels beibrachte.
Euler hat noch einen anderen Beweis 3 ) angegeben, welcher daraufhinausläuft, die Wurzeln von x n -f- Ax n ~ 1 -(- ßx' l ~ 2 -j- ••• = 0müssten sicherlich mittels Wurzelgrössen dargestellt werden können 1 ).Wir wissen, dass Euler hier nur seine irrige Vermuthung von 1732(S. 555) wiederholt, ohne sie zu begründen.
Euler, dessen von keinem anderen Mathematiker auch nur an-nähernd jemals erreichte Erfindungskraft so viele Früchte zeitigte,dass die bestehenden Akademieschriften sich als ungenügend erwiesensie aufzubewahren, gab 174b—1751 in Berlin drei Bändchen Opitmdartnii aryumcnti heraus. In dem II. Bändchen von 1750 findet sich
') Histoire de l’Aeademie de Berlin. Armee 1749. pag. 246. ! ) Ebenda
pag. 240. s ) Ebenda pag. 263—264. 4 ) II est certuin que cette formule
sera composee de plusieurs signex radicaux, dont les quuntites A, B ■ ■ ■ serontcompliquees.