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IOC. Kapitel.

eine algebraische Untersuchung 1 ), zwei Beweise des Satzes von denSummen der Wurzelpotenzen. Sei Z = x n ■— Ax n ~ 1 -j- lix H ~- —Cx n ~ 3 -|- l)x n ~ 4 — • • • + aV = 0 eine Gleichung, deren n Wurzelnu, ß, y, ö, ■ ■ ■ v heissen, so dass also Z = (x — a) (x — ß) (x — y)(x — d) • • • (x — v) und log Z = log (x — a) + log (x — ß) +log (x — y) -j- l°g (x ■— d) —f- • • • —j— log (x — v ) ist. Differentiation

6 0 — y) + log (x — ö > +

„ , 1 dZ 1

x liefert

nach

“ 3 H-1- * +

i J a + £*./“’ +

Z dx

ß

X *

= +x — " '

ß

+ ■•• +

+ £* +

X —

1 , v . v 2

+ * + i* +

= - +

V X 1

+ =

+

+

leicht verständlicher Abkürzung. Anderer-

seits ist -jJ- = nx n ~' — {n — 1) Ax n ~~ -(- (n — 2) 71x n—3 — • • • und

i =-----• Multiplicirt man die für ' ge

* x n — Ax n ~ l + ]ix a ~* - Z dx *

fundene Reihe mit Z und setzt das Product der für , - gefundenen

d x °

Reihe gleich, so entsteht:

x n ~ 1 — (m — 1) Ax n ~- -f- (w — 2) Jix n ~ z — • • • = \x n — Ax n 1

+—3 • B i J“ + hj tt * + •••] = »*" _1

-\- ^ Ja — nA^j x n ~~ 2 -)- ^ Ja 2 — A ja -j- nllj x n ~ 3 -(-

Jetzt werden die Reihen rechts und links vom Gleichheitszeichen alsgliedweise übereinstimmend gedacht, und so entstehen die Formeln

— (« — 1 )A=J'u — n A

(ii — 2) ß — Ja 2 — A ja n 7>

_ ( w _ 3) C =Ja 3 — A Ja- B Ja — nC

(ii — 4 ) 1) = Ja 4 — A Ja 3 -f- ß ja 2 — C Ja -|- n I),

deren Gesetz sofort ersichtlich ist, und aus welchen Ju, Ja 2 , Ja 3sich der Reihe nach leicht ergeben. Euler’s zweiter Beweis ähneltsehr demjenigen, welchen wir bei unserer Besprechung von Maclau-rin’s Algebra (S. 571—572) zu erwähnen hatten. Wir lassen dahin-gestellt, ob Euler von jenem Werke Kenntniss besass.

Gabriel Cramer’s ungemein reichhaltige Iniroduction ä Vanalysedes Uynes courhes alyebriques von 1750 gehört gleich Euler’s Intro-ductio nur nebensächlich, aber mit wichtigen Gegenständen in diesesKapitel. Der erste Gegenstand ist das Newton’sche Parallelo-

'j Kuler, Opuscula varii argumenli II, 108—120.