502 107. Kapitel.

(lass n = b 1 schon bei Michael Stifel (Bd. II, S. 401) Berück-sichtigung gefunden habe.

Im folgenden Bande kam Euler auf den Fermat ’schen Lehrsatzzurück 1 ). Sei die Primzahl p > 2. Man hat 2 p — (1 -j- 1)p = 1 -)- p

1 = m p _f_ 2, mithin ist 2 p — 2 durch p theil-bar und ebenso 2 p ~ 1 — 1. Wird p > 3 angenommen, so zeigt dieEntwicklung 3'' = (1 -j- 2 )p = 1 -f- p ■ 2 -)- ^ • 2 2 -)-••■ -f- 2>‘

= mp -f- 1 -)- 2 p = mp -f- 3 -f- (2 p — 2), dass 3'' — 3 durch p ge-theilt denselben Best wie 2 P — 2 d. h. den Rest 0 lässt, mithin ist3^ — 3 und ebenso 3 p — 1 — 1 durch p theilbar. Der Satz wird durchjeweilige Erhöhung der potenzirten Zahl um die Einheit erweitert,und demnach ist die Theilbarkeit von a p ~' — 1 durch p erwiesen,wenn nur p > a. Der schon bei der Entwicklung von 1 1 -j- 1 )p zuT age tretende Kern des Beweises besteht in der Theilbarkeit jedes zurp ien Potenz gehörenden Binominalcoefficienten durch p, und insofernist es ganz richtig, dass Euler’s Beweis mit dem der Oeffentlichkeitvorenthalten gebliebenen von Leibniz (S. 319) übereinstimmt, eineUebereinstimmung, welche indessen Euler nicht zum Vorwurf gemachtwerden darf, da er keinenfalls Kenntniss von Leibnizens Aufsatz hatte.

Die Theorematum quorundam arithmeticorum demanstrationes 2 )Euler’s von 1738 betreffen einen besonderen Fall des berühmtenFermat’schen Unmöglichkeitssatzes (Bd. II, S. 705), nämlichden, wo n = 4 ist, und behandeln ihn nach einer Methode, inwelcher die Aehnlichkeit mit dem, was Fermat Methode derunendlichen Abnahme (Bd. II, S. 709) nannte, sofort ein-leuchtet. Ist « 2 -|- b 2 wieder ein Quadrat, und sollen a , btheilerfremd sein, so muss eine dieser Zahlen, z. B. a ungrad sein,während h grad ist. Diese Bedingung wird durch a = jr — q 2 ,b = 2pq mit theilerfremdeu p und q, deren eines grad, das andereungrad ist, erfüllt. Xun mögen a und b Zahlen der gedachten Art,d. h. theilerfremd und a ungrad, b grad sein, und zugleich cd -f- ft 4ein Quadrat, ohne dass b = 0 wäre. Aber a 4 -(- h 4 = (o 2 ) 2 -f- (b 2 ) 2 ,und damit daraus ein Quadrat entstehe, muss a 2 = qr — q 2 , b 2 = 2pqund von p, q das eine grad, das andere ungrad sein. Wegenp 2 — q 1 = a 2 kann nur p ungrad und q grad sein. Das Quadratisch-sein von p 2 — cj 2 erfordert mit Einschluss der für p und q schongewonnenen Bedingungen, dass p — m 2 -f- ir, q — 2mn und m } ntheilerfremd und eines grad, eines ungrad sei. Nun war 2pq — b 2 ,

*) Commentarii Academiae Petropolitanae ad annum 173G. T. VIII, 141—14G.8 ) Ebenda 1738. T. X, 125—14G.