Zahlen!,heorie.

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numeros primos spectantibus 1 ). Ferraat hatte (Bd. II, S. 709) be-

hauptet, die Zahl 2- k -f- 1 sei immer Primzahl und hatte an k = 1,

2, 5, 4 die Prüfung vollzogen. Euler, im December 1729 durchGoldbach auf den Satz aufmerksam gemacht 2 ), war zunächst ganzvon demselben eingenommen, bis er zufällig k = 5 versuchte und2 3 -’ -)- 1 = 641 • 6700417 fand, wodurch der Satz hinfällig wurde.Darin besteht der wesentliche Inhalt des Aufsatzes, denn wenn Eulerauch im weiteren Verlaufe von dem sogenannten Fermat’schenLehrsätze in der Form, dass a n — b n jedesmal durch n -)- 1 theilbarsei, redet, wenn »z —f— 1 als Primzahl und a und b als durch n -f- 1untheilbar angenommen werden, so gesteht er doch ein, den Satznicht beweisen zu können.

In einem späteren Aufsatze des gleichen Bandes, De solutioneproblematum Diophantaeorum per numeros intef/ros 2 ), zeigt Euler, wieaus einer ganzzahligen Auflösung der Gleichung ax 2 -f- hx -f- c = y 2beliebig viele andere abermals ganzzahlige Auflösungen gefundenwerden können.

Im nächsten Bande wandte sich Euler mit dem Aufsatze Deinvrniendo monero qui per datos numeros divisus reUnquat data residua*)zu der Aufgabe, mehreren unbestimmten Gleichungen ersten Gradesgleichzeitig gerecht zu werden. Soll eine Zahl z durch a getheiltden Rest p, durch b getheilt den Rest q lassen und a > b sein, so

ist z = ma -f- p neben z = nb q, und n =- -- - 1 — —~—

soll ganzzahlig sein, wo p — q = v gesetzt wurde. Wegen a > bmuss nothwendig a — ab c mit c < b gesetzt werden können, und

man erhält ’n = mci -f- , wo der letzte Bruch ganzzahlig zu

machen ist, etwa = A. Daraus folgt m = 1 wiederum als

c

ganze Zahl. Man weiss c</>, folglich ist b = ßc-\-d mit d < c und

= Aß -j- — V = m, und es gilt = D ganzzahlig

zu machen. Fortsetzung des Verfahrens muss endlich zu einem ganz-

zahlig zu machenden G = ^ k ^- V führen mit a >/>>c> >k

und k als Theiler von v erkennen lassen. Alsdann genügt es ff = 0zu setzen, um ganzzahlige G, ■ ■ • ß, A, m, n, z zu finden, nebenwelchem z auch jedes z -(- mab der Aufgabe genügt. Soll zwischenden Divisoren a und b eine gewisse Beziehung obwalten, so verein-facht sich häufig die Rechnung. Euler macht darauf aufmerksam,

*) Cummentarii Academiae Petropolitanae ad amios 1732 et 1733. T. VI,103—107. 2 ) Corresp. math. (Fuss) I, 10. ®) Commentarii Academiae Petro-politanae ad annos 1732 et 1733. T. VI, 175—188. 4 ) Ebenda 1734 et 1735.

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