Zahlentheorie.

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Ein weiterer zalilentheoretisclier Gegenstand, über welchen EulerUntersuchungen anstellte, wurde ihm von Philip Naude demJüngeren jedenfalls vor 1743 unterbreitet, denn in einem Aufsatze,der zwischen 1742 und 1743 bei der Petersburger Akademie einlief,ist davon die RedeQ. Es handelt sich um die Zerlegung einer ganzenZahl in additive selbst ganzzahlige Theile, welche entweder alle voneinander verschieden sein müssen, oder auch unter einander gleichsein dürfen. In der Introductio von 174.3 hat Euler die doppelteAufgabe in einem besonderen Kapitel behandelt, über welches wir inunserem 111. Kapitel berichten. Dann hat Euler noch eine Abhandlung]>e partitiona niunrmrunr) veröffentlicht, aber sie enthält nicht wesent-lich mehr, als schon in der Introductio stand, und somit gehen wiran ihr vorüber ohne ihr Anderes als die Bemerkung über den Ur-beber der Aufgabe zu entnehmen.

Im folgenden Bande der Veröffentlichungen der PetersburgerAkademie :i ) kehrte Euler zu seinem wiederholt in Angriff genommenenGegenstände IJ<: numcris qui sunt agrcgata dwrrum guadratorumzurück. War doch, wenn man wollte, die Zerlegung in Quadrate,ob in zwei oder in mehrere, nur ein besonderer Fall der Zerlegungüberhaupt, und mit dieser Andeutung hatte Euler im Aufsatze desvorhergegangenen Bandes zu verstehen gegeben, er denke noch andie scheinbar verlassene Aufgabe. Zur Lösung brachte er sie auchdieses Mal noch nicht. Man gestatte uns, um uns kürzer fassen zukönnen, das Nennwort Primzahl mitunter durch das Eigenschaftsworttheilerlos zu ersetzen und ferner eine Zahl, welche die Summe zweierganzzahliger Quadrate ist, eine Quadratensumme, eine Zahl, welchenicht die Summe zweier ganzzahliger Quadrate ist, eine Nicht-quadratensumme zu nennen. Euler zeigt, dass wenn p Quadraten-summe ist, das Gleiche für 2p gilt, und dass dieser Satz umkehrungs-fähig ist. Er zeigt, dass das Product zweier Quadratensummen wiedereine solche giebt. Er beweist, dass, wenn pg Quadratensumme undp theilerlose Quadratensumme ist, q Quadratensumme sein muss, eineFolgerung welche sich leicht auf den Fall ausdehnt, dass die Quadraten-summe p ein Product aus beliebig vielen theilerlosen Quadratensummenist. Ist dagegen pg Quadratensumme und q Nichtquadratensumme,so ist p entweder theilerlose Nichtquadratensumme, oder p besitzteine theilerlose Nichtquadratensumme als Factor, während man indem letzteren Falle nicht so weit gehen kann zu behaupten, p sei

’) Commcntarü Academiae 1‘etropolitanae ad annos 1741—1743. T. XIII,71) und 89. ! ) Novi Commentarii Academiae l’etropolitanae ad annos 1750 et

1751. T. III, 125—1(39. 3 ) Ebenda 1752 et 1753. T. IV, 3—40.