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107. Kapitel.

selbst Nichtquadratensumme. Sind n und b theilerfremd, und ista~ Ir durch p theilbar, so kann man immer eine andere durch p

theilbare Quadratensumme c s + finden, welche höchstens = —

ist. Mit diesem Satze gewinnt Euler wieder die Möglichkeit dieMethode der unendlichen Abnahme anzuwenden, welche folgern lässt,dass eine Summe zweier theilerfremden Quadrate nur durch eineQuadratensumme theilbar sein kann, und da jede Primzahl von derForm 4 n — 1 Nichtquadratensumme ist, so können die theilerlosenQuadratensummen, welche in Summen zweier theilerfremden Quadrateals Factoren stecken, nur von der Form 4 n -f- 1 sein. Ob aber jedePrimzahl von der Form 4 h + 1 Quadratensumme sei, ist damitkeineswegs festgestellt. Euler führt allerdings die Untersuchung nochetwas weiter. Ist 4 n -f- 1 Primzahl, und sind a und b nicht durch4>i -f- 1 theilbar, so muss a iH — b in = [(a*) 2 -f- (A"r] [(«"J 2 — (£>*/]ein Vielfaches von 4« -|- 1 sein. Ist dabei u- n — b 2n nicht Viel-faches von 4 n -f- 1, so ist damit erwiesen, dass die Quadratensumme(i a n ) 2 -f- (7/ 1 ) 2 , oder, wenn a n = mr, b n = ms und r, s theilerfremdsind, dass »r(r 2 -(-s 2 ) und folglich auch r 2 -f-s 2 durch 4// —f- 1 theil-bar sein muss, womit nach dem Vorhergehenden die Sache erledigtwäre. Es bedarf also des Nachweises, dass, wenn 4 h + 1 Primzahlist, immer zwei durch 4 h -j- 1 nicht theilbare Zahlen «, b von derBeschaffenheit gefunden werden können, dass a 2n — b in nicht durch4 h -)- 1 theilbar ist. An dieser Forderung stockt die Untersuchung,welche nur noch zwei weitere Sätze feststellt: dass eine Zahl 4n-f- 1sicherlich Primzahl ist, wenn sie nur auf eine einzige Art die Summezweier theilerfremden Quadrate ist, und ebenso sicher nicht Primzahl,wenn sie auf mehr als eine Art Quadratensumme ist.

Im nächsten Bande gelang es Euler endlich die letzte Handanzulegen 1 ) und den Enge umworbenen Satz von der Darstellbarkeitjeder Primzahl von der Form 4 h -f- 1 als Quadratensumme endgiltigund lückenlos zu beweisen. Da a und b durch die Primzahl 4h -|- 1nicht theilbar sein dürfen, so wird dieser Bedingung bereits genügt,wenn a und b aus den Zahlen 1 bis 4 h ausgewählt werden. Eulerbildet nun die 2H ten Potenzen aller dieser Zahlen und behauptet,dass, wenn man irgend eine von ihnen als ar n , die nächstkleinereals lr n betrachte, nicht alle Differenzen 2 2 "— l 2n , ff 2 " — 2 2n ,4 2 " — ff 2 ' 1 , • • • (4 h) 2 " — (4h -- l ) 2 " durch 4h -j- 1 theilbar seinkönnen. Wären sie nämlich sämmtlich durch 4h -j- 1 theilbar, somüsste die gleiche Theilbarkeit sich auch auf die Differenzen jener

’) Koni (Jommenturii Aeademiae 1‘etropoUtanae ad aunas 1754 et 1755.T. V, 3—58.