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108 . Kapitel.

anzeigen, dass man von A nach B, dann weiter nach I) gegangensei u. s. w. Der Uebergang über eine Brücke wird also durch2 Buchstaben, der über 2 durch 3 Buchstaben, der über n Brückendurch (« 1) Buchstaben angedeutet, und wir wissen als erstes Er-

gebnis, dass der Weg über die T in Frage stehenden Brücken durch8 Buchstaben zu bezeichnen sein wird. Zu einem zweiten Ergebnissegelangen wir folgendermassen. Führt eine Brücke von A nach einemanderen Gebiete, so muss der Buchstabe A einmal in der WegangabeVorkommen. Er muss 2mal, 3mal, (nt -f- l Vmal Vorkommen, wenn3, 5, (2»i-|-l) Brücken in das Gebiet A einmünden, und genauebenso verhält es sich mit dem Buchstaben jedes anderen Gebietes.Nun führen nach A, 11, (!, 11 der Reihe nach o, 3, 3, 3 Brücken.In dem Wege müssen also Vorkommen 3 A, 2 11, '2Ü, 21) oder !) Buch-staben, während nur 8 Buchstaben zur Wegbezeichnung dienen dürfen,und die Aufgabe ist unmöglich. Euler blieb bei dem Falle, der dieVeranlassung zur Untersuchung bot, nicht stehen. Er legte sich dieweitere Frage vor, wie die Sache sich gestalte, wenn etwa 2, 4, 2mBrücken in das Gebiet A einmünden. Während es bei der vorher be-trachteten ungraden Brückenzahl keinen Unterschied machte, ob man vonA ausging, oder erst aus einem anderen Gebiete über eine Brücke nachA gelangte, ist jetzt zwischen diesen Möglichkeiten zu unterscheiden.Sind nur zwei Gebiete A und 11 vorhanden, und kommt man von 1)nach A über eine erste Brücke, von A nach B über eine zweiteBrücke zurück, endlich über die [2m — 1 ) te Brücke nach A, über die2m te nach 11, so heisst der Weg 11 AB ■ ■ ■ 11, d. h. A kommt /«mal,11 aber m -f- 1 mal vor. Allgemein ausgedrückt: wenn ein Gebietdurch 2 m Brücken mit einem anderen verbunden ist, so kommt dessenBuchstabe ",—(- 1 mal oder - — mal in der Wegangabe vor, jenachdem es den Ausgangspunkt enthält oder nicht. Durch Zusammen-fassung dieser Regeln kommt Euler zu folgender Anweisung. Manschreibe die Namen aller Gebiete unter einander und neben jedesGebiet die Zahl der Brücken, welche dort einmünden, so dass dieSumme dieser Zahlen, weil jede Brücke zwei Endpunkte besitzt,doppelt so gross als die Zahl der überhaupt vorhandenen Brückenwird. Neben jede der angemerkten Zahlen schreibt man deren Hälfte,wenn sie grad, die Hälfte der um 1 vermehrten Zahl, wenn sie un-srrad war. Addirt man diese neue Reihe von Zahlen und erhält dieAnzahl der Gebiete oder 1 mehr, so ist die gestellte Aufgabe er-füllbar, und zwar unter der ersten Annahme, wenn man in einemungraden, unter der zweiten, wenn man in einem graden Gebiete denAusgangspunkt wählt, grad oder ungrad heisst aber ein Gebiet nachder graden oder ungraden Anzahl der dort einmündenden Brücken.