Reihen his 1781!.
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Daniel Beruoulli mit dem gleichen Gegenstände, den er allerdingszeitweilig bei Seite legte, als er erfuhr, dass ihm zuvorgekommensei. Bald griff er ihn wieder auf, und die Frucht dieser Untersuchungen waren Ohscnrdioncs de serielms rccurrcntilms M vom Sep-tember 1728, deren Hauptinhalt die (S. 548j angekündigte Anwendungrecurrenter Reihen auf Gleichungsauflösungen ausmacht. Einen Be-weis oder eine eigentliche Herleitung des Verfahrens giebt Beruoullinicht. Diesen Mangel ergänzte Euler, in seiner Introductio, und wir
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werden daher im 111. Kapitel bei unserer Berichterstattung überletzteres Werk auf den Gegenstand zurückzukoramen haben. DasVerfahren selbst ist folgendes.
Man bringt die aufzulösende Gleichung in die Gestalt 1 = ax-f- hx 2 -f- ex' + ex Ä -(-•■•, wo rechts etwa x v mit v als ganzer po-sitiver Zahl die höchste Potenz von x sein mag, beispielsweise seiv = 4. Man wählt nun vier (d. h. eigentlich v) willkürliche ZahlenA, Ji, C, J) und setzt eine fünfte E = uJ) + h(J + cl> + cA. Diegenau gleiche ltecursionsformel F = aE -f- hl) - f- cC + eB lässteine sechste Zahl F linden u. s. w. Setzt man das Verfahren derAuffindung immer neuer Zahlen mittels der gewählten Recursions-formel bis zu zwei beliebig weit vom Anfang entfernten, unmittelbar
auf einander folgenden Zahlen Al und N fort, so ist x — -y ein
Näherungswerth einer Gleichungswurzel. Sei z. B. 1 = — 2x -f- öjc 2— 4F ! -(- E die vorgelegte Gleichung. Mau wählt etwa .1 = B =
Ci
5: II
II ö
= 1.
_2 •
Man findet1 + 5 •
1
— 4-
1 + 1 ■
1 =
0
F =
— 2 •
0 + 5 •
1
— 4 ■
1 + 1 •
1 =
2
<r =
— 2 •
2 + ö •
0
— 4-
1 + 1 •
1 =
— 7
// =
_2 •
-7 + 5-
2
— 4 .
0 + 1 •
1 =
25
I =
_2 •
25 + 5 •
— 7
— 4 ■
2 + 1 •
0 =
— 03
K =
— 2 •
— 9b + 5 ■
25
— 4 •
-7 + 1 ■
2 =
341
L =
— 2 ■
341 + 5 ■
— 03
— 4 •
25 + 1 •
— 7 = —
1254.
Näherungswerthe einer Gleichungswurzel sind ^, —y, —
— ,rr, — , welcher letztere Werth schon ziemlich genau
ist, da er zu 1 = = 0,999487 • • ■ führt. Bernoulli er-
kennt an, dass sein Verfahren die Voraussetzung einschliesse, dassdie Brüche ^^, • • • y einer gemeinsamen Grenze zustreben,was nicht immer der Fall sei, dann z. B. nicht, wenn die Gleichung
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') Commentarii Academiae Fetropolitanae ad annum 1728. T. III, 85—100.