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10‘J. Kapitel.

eine unendliche Reihe A = a -f- lt + c + • • • und vervielfacht siegliedweise mit J), so bleiht der Werth von A unverändert, währenddie Form eine andere wurde, d. h. die Summe einer formell neuenReihe ist gefunden. Die neue Gestalt ergiebt sich als:

|w<+/7)+(ß+++(e+/’)+l//+//) + •••] ' 11+«—'y+"’l =

G< + ?0+( c + r O + ('’ + /’) +0/ + ^) H—

-\-au + (c —«)« + (ß —c)«+(</— e)a-\ -

+ o/l +(c —«)/l + (e —c)/l + ---+ <iy +(c — u)y + —

+ nd +•••

+ -•

ln einem Beispiele zu dieser allgemein und ohne jegliches Bedenken

angegebenen Umformung setzt Goldbach a =

»i s + m — l

»i* -f m

T,n + äj*- U - S ’ W -’

0 = 1 ,

P ~~ üTflb = — m ,

»»* + »»— 1 _ ß

= (m + 2)* y ~ «7+ 2c = nr, <1 — — »m 3 u. s. w r . Er wählt also A— 1 — in + M 3 — + ••••

Bildet man die einzelnen Kolumnen der neuen Reihe, so erkennt man

sofort

( a + h) + o« = (c + d) + (c — «)« + « ß = ( „, | g) ,

u. s. w. Die umgeformte Reihe heisst also A = —

+ Die erste Form von A entspricht der Reihenent-

wicklung von --, 1 —, die zweite der von .-■ = -- ,-r • Heute

würde man hinzusetzen müssen, die erste Reihe convergire bei— 1 < m < 1, die zweite hei m > — 1, mithin auch in dem Con-vergenzhereiche der ersten Reihe, innerhalb dessen also eine wirklicheGleichung zwischen beiden unendlichen Reihen stattfindet. Goldbachhat nur eine leise Ahnung von der Notliwendigkeit einer etwaigenEinengung des Gleichheitsbegriffes, welche aber durch eine Schluss-

bemerkung hei Seite geschoben wird. Ich weiss wohl, sagt er, dass

die Meisten behaupten, die erste Reihe A entstehe durch fortgesetzte

Division aus , -J—, sei aber diesem Werthe nicht gleich, wenn m > 1;

1 m ’ 0 7 ;

aber wenn auch diese Art, endliche Grössen durch unendliche Reihenauszudrücken, etwas Ungewohntes hat, so sehe ich doch nicht ein,

warum sie überhaupt zu verwerfen sein soll, da doch das eben an-

geführte Beispiel zeigt, dass man solche Reihen in andere verwandelnkann, deren Glieder fortwährend abnehmen.

Seit 1720 war der von De Moivre eingeführte Begriff undName der recurrenten Reihe (’S. .‘570) vorhanden. Ohne vondiesen und verwandten Untersuchungen zu wissen, beschäftigte sich