Reihen bis 17,'!<>.
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recurrente Reihe mit dreigliedriger Scala auffassen 1 ) u. s. w. Ausdem oben gefundenen C — ( m -j- p) B—mpA braucht man nur zufolgern qC = mqB -f- pqB — mpqA und qü — mqB — pqB -f-mpqA=Q und dieses mit I) — (mp) C—mpB zu verbinden.
Man hat alsdann I) — (m -f- p -f- <1 ) C — (mpmq-\-pq)BmpqA
mit willkürlichen p und q. Im Fortgange der Erörterungen zeigtDe Moivre , dass jeder Bruch, dessen Zähler 1 und dessen Nennereine ganze Function ist, sich in eine recurrente Reihe entwickelt undkommt damit weiter auf Partialbruchzerlegungen.
Die im IV. Buche der Miscellanea analytica gelehrte Summirungrecurrenter Reihen geht von den folgenden, den Fall einer zwei-gliedrigen Scala voraussetzenden Erwägungen aus. Sei B -f- Q -|- 11-f- S -f- T -|- • • • eine derartige Reihe mit der Summe z, so ist einer-seits B -(- Q -j- II-\ = z, beziehungsweise Q R = z — B
und andererseits vermöge der stattfindenden Scala:
B= BV = (>
11 = fxQ — yx 2 BS = fxR — qx 2 QT = fxS — (jx 2 li
Addition aller dieser Gleichungen bringt
D O
z = B -f- Q -f- fx {z — B) — <jx'-z
P+ Q-fxl
folgt, oder
i —fx + (JXendlich z
i — fx. + gx
, -L “t- V - /
hervor, woraus z — , —:—
’ 1 —fx + i
B = a, (J = hx endlich z =
folgt, oder unter der Annahme
Dass die ganze Rech-
nung nur dann einen Sinn hat, wenn die Reihe eine unendliche undzugleich convergent ist, weil nur dann die rechts stehenden Q -f- I!+ S -f- • • • und B -f- Q R - f- • ■ • ebenso z — B und z zur Grenzehaben, wie das links stehende .Z 1 * —{— 4* —[— jR —J— ä —f— - - - sich als
z summirt, bildet für De Moivre keine Schwierigkeit.
Noch Einiges aus dem in der That mannigfachen Inhalte derMiscellanea analytica fordert unseren Bericht. Im 3. Kapitel desV. Buches hat De Moivre eine Aufgabe behandelt 2 ), welche schonvon Jacob Bernoulli in der Ars cmijedandi gestreift worden war,die Aufgabe, das Glied grössten Zahlen'werthes in der n als ganzepositive Zahl voraussetzenden Binomialentwicklung i a -|- b) n ausfindigzu machen. Einige Druckfehler stören beim Lesen, nach deren Ver-
') I)e Moivre , 3Iiscellanea analytica pag. 27, Theorema 2. ! ) Ebenda
pag. 107—108.