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100. Kapitel.
besserung De Moivre’s Gedankengang folgender ist. Sei etwaM = n ^ a n —‘+ 1 b ‘— 1 das grösste Glied. Die beiden
\ • "Z • - • [l — 1 )
Nackbarglieder links und rechts sind
n (« — 1) • • • (n — / -|- 31
1.3 --- (I — 2)
1 — 1
Z + 2 b
1 ■ 2 ■ ■ • l
->b l =
t ,-l + t V -S
1+ 1 b 3L
l-
a
1 a
n —1 + 2 bSind die
Da M grösser als jedes von beiden sein soll, so muss 1 >
, , ^ n — 1+11) . , 1) n + 21) + u 7 bn + b
und 1 > ——+-sein, oder -— ! — > < > t—
1 n ' b + a b + a
beiden um die Einheit verschiedenen Grenzwerthe Brüche, so ist ldie zwischen beiden liegende ganze Zahl; sind die beiden Grenzwertheganze Zahlen, so giebt es überhaupt kein Glied M grössten Werthes,sondern zwei gleich grosse, in der Entwicklung unmittelbar auf ein-ander folgende Glieder.
Gleich auf der ersten Seite der Miscellanea analytica steht derSatz 1 ), der den Namen De Moivre’s vorzugsweise berühmt machen sollte.AV enn l und x, sagt De Moivre , die Cosinusse zweier mit dem Halbmesser 1 beschriebenen Kreisbögen A und I! sind und A — n />,
1
dann ist x = * Vl +- "j/Z 2 — T + - - " — • Der Sinn wird durch
^i + yi*“-i
andere Schreibweise deutlicher werden. Da / = cosJ, so ist Z ä —- 1cosM 2 — 1 = — sin A 2 und l -f- j/Z 2 — 1 = cos A + sin A ]/ - 1= cos u II -j- i sin nli. Andererseits ist x = cos B, und die Formellautet:
1
cos B = — (cos u B -j- ]/ — T sin nlf) H +- — ( cos n B + Y — 1 sinn]})
Man sieht, sie ist auch in dieser dem heutigen Brauche angepasstenSchreibart nicht ganz übereinstimmend mit dem sogenannten Moivre-sclien Binomialtheoreme
_ i
cos B + Y — 1 sin B = (cos uB + Y — 1 sin nB) n ,
aber letzteres hängt doch eng mit ersterer zusammen!
Den Miscellanea analytica ist ein Complcmentum angehängt, inwelchem De Moivre beiläufig auch einen Fortschritt in der Lehrevon den Bernoullischen Zahlen (S. 332—333) vollzog 2 ). JacobBernoulli hatte für die Summe der c t0 " Potenzen aller ganzenZahlen von 1 bis n die Formel gefunden:
*) I)e Moivre, Miscellanea analytica pag. 1.pag. 6 sqq.
! ) Ebenda. Complementum