Reihen bis lT.'il).
f> 25
SW- = [ + Y + I ^» e_1 + — : -'T . (C . ä)
2-3-4
, c(c— l)(c— 2)(c — 3)(c — 4) fj nC _ b _J_* *2 • 3 • 4 • 5 • 0 *
De Moivre setzte darin n = 1 und erhielt dadurch die erste Recur-sionsforinel zwischen jenen Zahlen:
l
c -f l
+ 4 + ^a + c(c : r : 1 . ) . (c r‘ 2) n
+
c (c — 1) (c — 2) (c
2-3-4- 3) (c -
4)
2 • 3 ■ 4 • 5 • 6
0 +
Dem gleichen Jahrgange 1730 wie De Moivre’s Miseellanea analytieaentstammt ein zweites in England verfasstes und gedrucktes Werk:Methodus differentialis sivc tmetatus da summationc et interpolationcserierum -infinitomm von James Stirling. So sehr auch Stirlingin Newton’s Fusstapfen zu treten liehte, an eine geistige Verwandt-schaft mit dessen Methodus differentialis ('S. 3f)8—302) ist nicht zudenken, und ebensowenig darf die hei Stirling vorkommende Ueber-schrift Da aeijuationibus diffcrentialibus qutta dcfiniunt scrics 1 ) unsveranlassen, dort nach die Reihen detinirenden Differentialgleichungenim heutigen Sinne des Wortes zu suchen. Stirling bedient sichfolgender Bezeichnung. Seien T, T, T" • • • aufeinander folgendeGlieder einer Reihe, deren Stellenzeiger z, z -f- 1, z -)- 2 • • • heissen.Kennt man die Gleichung, welche T' in seiner Abhängigkeit vonT und z darstellt, so kennt mau auch die Abhängigkeit des GliedesT" von T und z -f- 1 und überhaupt die sämmtlic-hen Reihenglieder,und diese Gleichung nennt Stirling die Differentialgleichung der Reihe.Sie kann auch durch den Zusammenhang zwischen T und z ersetztwerden, und Stirling wählt letzteren vorzugsweise in zwei Gestalten:
1. 1 = A + Bz + Gz(z — 1) + T)z(z — 1) 0 — 2)+ Ez{z- 1) (z -2)(z- 3) +C . 1)
T -f- - -1---2_L
z ~ z.(z +1) ' z{z-\-l)(z-\- 2) ~
+
Z(2+l)(2+2)(2+3)
*(* + l)(*+3)(* + 8)(* + 4)
+
Auf ähnliche Formen können auch die Folgeglieder TT" ■ ■ ■zurückgeführt werden. Von der Gleichung 1. aus gelangt man, indemman (z -f 1) z(z — 1) • • • (z — m + 1) = (* — m -(- m -f 1 )z(z — 1)•••(« — >»+ 1) = (m -f- 1) z iz — 1) ■■■ (z — m - fl) + z (z — 1)• • • (z — m) setzt, zu
*) Stirling, Methodus differentialis pag. 3.