Reiben bis 1736.

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Andererseits stellt Stirling der zweiten Gestalt angehörende insUnendliche suminirbare Reihen her. Hier bedeute S die vom Gliede Tmit dem Stellenzeiger z ins Unendliche sich erstreckende Reihe undS' — H —- T oder was S wird, wenn z in z -f- 1 übergeht. Er be-hauptet, zu T = z(z + f) + x{g + m + 3) + Ä(a+1 ) (Ä + 2 )( a + 8 j + ' "

gehöre S = j + + sz.z + i)(z+-2) + ' ‘ '• Wir dürfen deu

Beweis, der abermals dem Gedanken S — S' = T entspricht', über-gehen. Ist T = , so muss man zur Anwendung der ent-

sprechenden Formel die Umwandlung in T = . 1 - r — ; — ; —-

1 o b G« + i) 2G+i)G+2)

+ ;fr + lH* + *) fr + 3) mit A = 1 > B = ~ 2 > ü = 2 vornehmen,

alsdann ist S ■

2 __ 3z'- + <}Z — 2

*(*+1) 1 »*(*+'!)(*+ 2) 3*(* + l)(*+2)>

1 + 3

und

setzt mau z — 1, so findet man „ 1 , + t —7 -4- . 1 -; -4- , 1 . 4- • • ■ = - 1 •

Mitunter geht die Umwandlung von T, welche in dem angeführtenBeispiele drei Glieder in Anspruch nahm, nur mittels einer unend-lichen Anzahl von Gliedern. Alsdann ist auch S mittels einer un-endlichen Anzahl von Gliedern gegeben, oder die vorgelegte Reihe istnicht eigentlich summirt, sondern nur in eine andere unendlicheReihe von meistens rascherer Convergenz umgewandelt. Ein Beispiel

bietet die Reihe der reciproken Quadratzahlen mit T = + = — ;

r z s z(z-h l)

+

*(*+l)(* + 2)

1-2-3

und folglich S= —

1 • 2

Z(Z+l)(2-|-2)(2-(-3) 1 Z(Z+1)(Z-

J--- 1 -- “_, _

' 2z(z-f- 1) ' 3z(z-{- 1)(jZ+2) 1 iz(z-{- 1)^4 2)(2-f- 3)

■2)(* + 3)(* + 4)1-2-3

Setzt man g = 13, so ist -+ + t \, + + ■ • • = t-ä + «Hl +

_|--L .

' 29120 '

13 1 364 1 409f>Nimmt man 13 Glieder dieser neuen Reihe, so ist

deren Summe 0,079957427. Daneben sind die 12 Anfangsglieder■p + Vä + ' " + p >2 = 1,564976638. Die Summe der ganzen unend-lichen Reihe 1 ) ist folglich + -f- + -f- ji + ■ • • = 1,644934065. Dass

dieser Zahlenwert kürzer durch — dargestellt wird, hat Stirling nicht

erkannt, auch nicht, wo er später-) auf die gleiche Reihe zurück-kommt. Die zur Auffindung der Gleichung zwischen S und T an-gewandte Methode führt auch leicht zu einer Gleichung zwischen Sund S', beziehungsweise zwischen T und T , und umgekehrt kann

') Stirling, Methudus dijferentüdis pag. 29. J ) Ebenda pag. 55.