109. Kapitol.

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man aus Gleichungen zwischen 8 und 8' oder zwischen T und 7"auf den Zusammenhang zwischen 8 und T schliessen.

Bei Besprechung einer zwischen S und S' aufgestellten Gleichungkommt Stirling 1 ) auf den Gedanken, den Stellenzeiger z auch andersals ganzzahlig positiv zu wählen, d. h. also die Reihe zu interpoliren,auch wohl sie nach rückwärts fortzusetzen, und von dem letzteren

Verfahren ist ihm • • • -75 + 1 + 1 + & + + • • • ein Beispiel 2 ).

1 — x’

X ' X- 1 X — 1 ’

In dieser Reihe ist 1 -)- a -(- a 2 -|—

und bei x = 1 werden beide Abtheilungen unendlich gross, währendvon deren Wertlie hei x ^ 1 nichts gesagt ist.

Die Lehre von De Moivre’s recurrenten Reihen, welche aber beiStirling durch Division entstandene Reihen heissen, gründet erauf das Gesetz 3 ), dass, von welchem Gliede an man die Reihe beginne, ihre Summe stets ein Bruch gleichen Nenners ist, z. B.

1

1 — ’Ax -j- x i

1 + 3« + Sa 2 + 21 a 3 + 55a; 4 + 144a 5 + •••; f

= i)x + Sa; 2 + 21a 3 + 55 a; 4 + 144 a; 5 +

8z s — 3a; 3

+ 21a- 3 + 55 a; 4 + 144a; 5 +

55a: 1 — 21* *'

21a; 3 — 8 a;)1 — 3a; + x a

1 — Ax x'

3a; — x s— Ax + x-

= Sa ; 2

= 21a 3 + 55 a- 4 -|- 144 a 5

+

1 — 3 x -f- x s

55 a 4 -f- 144 a 5 +

B(*i anderen Reihen kommt es darauf an, ihrem Gesetze durchBildung von Fluxionen auf die Spur zu kommen, also ihre Differen-tialgleichung im heutigen Sinne des Wortes zu ermitteln. Wenn wirdie Fluxionspünktchen Stirling’s durch Differentialzeichen ersetzen,

so ist sein Gang 4 ) folgender. Sei

so ist a • -J 1 — * - 4 - 4- • • • 4- * 4 - • • •. Abermalige Differentiation

dx 1 1 2 1 1 n 1 0

liefert * • ^ ^ = 1 + x H- \- x”* 1 -- r ~ und die

Differentialgleichung lautet a 'l ‘1 + = 7 ——

n 6 dx 1 1 dx l — x

Eine zweite Hauptabtheilung der Methodns differentialis ist durchihre Ueberschrift der Interpolation der Reihen 5 ) zugewiesen. Inzahlreichen Fällen vollzieht Stirling die Interpolation, indem er dieaufeinander folgenden Glieder der Reihe als Ordinaten einer parabo-lischen Curve auffasst, welche zu um Gleiches zunehmenden Abscissengehören, aber immer geht dieses nicht an, z. B. nicht bei der Reihe

‘) Stirling, Methodus differentialis pag. 35. s ) Ebenda pag. 36—37.

*) Ebenda pag. 69 sqq. *) Ebenda pag. 78. 6 ) Ebenda pag. 85—153:

Pars secunda de interpohttiune sericrum.