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109. Kapitel.

welche wir F(z) nennen wollen, soll z durch z - 2n ersetzt werden.

(2 — 2 re) 1, (r — 2 re) a (2

So entsteht F (2 — 2 «)

. «, f(»r . a s nn° .

' (2 — 2 re) 3 ' (2 — 2 n) b '

Ln

, 21—1

+

, 21—1 +

— 2 re) . «, n »1

2 re ”■ 2 — 2 re

In dieser zweiten

(2 — 2 h) 51 *

Reihe soll jeder einzelne Bruch durch Division in eine nach Potenzen

von 1 fortschreitende Reihe verwandelt und dann die Subtraction

Z

F{z ) — F(z — 2») vollzogen werden. Stirling behauptet, der Unter

schied trete als l, z — ^ --= l, 8 + « log (l — j)

= l, z — /, ^1 — ^-) = l, (2 — n) hervor, wenn die Silbe log den

natürlichen Logarithmus bedeutet. Weiss man aber, dass F ( 2 )— F(z — 2n) = l, (2 — n), so kann man, indem 2 jedesmal durch2 — 2n ersetzt wird, beliebig viele ähnliche Gleichungen bilden, be-ginnend mit F(z — 2n) — F(z — 4«) = /, (2 — 3«) und schliessendmit /’(# -f- 2») I'Xa) = l, (x + «)• Addirt man dann alle dieseGleichungen, so entsteht in der That F(z) — F(x) — l, (z — n)

+ l, (z — ■!») + ••• + !; ( x +

Die Thiitigkeit Euler’s auf dem Gebiete der Reiheulehre be-ginnt 1730. Er benutzte bei seinen Untersuchungen die Integralrechnung, welcher er bei eben dieser Gelegenheit Neuentdeckungenvon grösster Bedeutung hinzufügte. Wir sind nicht im Stande zuentscheiden, ob Euler damals schon Kenntniss von Stirling’s eben-falls von 1730 datirten Methodus differentialis besessen haben kann.Thatsache ist, dass er sich mit einigen dort behandelten Aufgabenebenfalls beschäftigt hat. Euler ist dabei noch weit mehr als Stirlingsorglos bis zum Uebermaasse in der Anwendung unendlicher Reihen.Eulers Aufsatz De progrcssionibus tramcendentibus, seu quarum ler-mini generales algebraice dari nequeunt 1 ), d. h. über transcendenteReihen, deren allgemeines Glied sich als in algebraischer Gestaltnicht darstellbar erweist, geht aus von der Reihe 1 -f- 1 ■ 2 -f- 1 ■ 2 • 3-(- 1 - 2 - 3 - 4 —. Diese Reihe stimme mit derjenigen überein,deren allgemeines Glied die Gestalt der unendlichen Eactorenfolge

jl — n 2 n — 71 3 3I — n ± n 4.1 — n

1 -f- n 2 -)- n 3 -)- n 4 -)- n

besitze. Setzt man nämlich in dem neuen Ausdruck « = 1, so wird

er zu i-— • - • — 7 — • • • = 1. Setzt man n = 2, so entsteht

2 3 4 '

1 . 3* - • 4 S

1 ■ 2 S 2 3 2-2 3-3 4-4 o l • i, 1 • .

3 4 5 1 • 3 2 • 4 3 • 5 6 b

’) Cummentarii Aeademiae Petropulitanae ad annas 1730 cf 1731 T. V, 315—57.