Reihen bis 173C.

G31

1 - 2 3

— • 3 32*

; • 4 3

2-2-2 3-3-3

4-4-43 • 3 0

n = 3 den Wert - -

4 5 6 1-1-4 2-2-i

= 1 -2-3 hervor u. s. w. Die neue Form habe vor der ursprüng-lichen den ganz wesentlichen Vorzug, sich als zur Interpolationgeeignet zu erweisen, indem man in ihr dem n auch nichtganzzahligeWerthe beizulegen vermöge, was in 1 • 2 • 3 • • • n unthunlich sei. Bei

n — ~ gehe die neue Form über in "J./[j^ * • ^ ^ • • • J, und ver-

gleiche man die von Wallis seiner Zeit gefundene Factorenfolge(Bd. II, S. 827), so sei der Werth dieses Gliedes vom Stellenzeiger

i- gleich der Quadratwurzel aus der Kreisfläche, deren Durchmesser die

Einheit ist, wofür man heute * j/.-r schreibt.

Da demzufolge 1 • 2 • 3 ■ • • n

einen Ausdruck bedeute, der bald ganzzahlig erscheine, bald von derQuadratur des Kreises ablninge, so habe ihn das, sagt Euler, auf denGedanken gebracht, eine abermalige Umformung zu versuchen, undzwar in ein Integral, weil es ja Integrale gebe, welche derart voneinem in ihnen vorkommenden n abhängen, dass sie, je nachdem 11ganzzahlig ist oder nicht, algebraische Auswerthung oder nur einesolche mittels der Quadratur von Curven gestatten. Beispiel einessolchen Integrals sei Jafdx(\ — x) n , wenn bei der Integration beachtetwerde, dass das Integral zugleich mit x zu Null werden solle; dannwerde es unter Einsetzung von x — 1 das n ,e Glied einer unendlichenReihe bilden 1 ). Euler meint also das bestimmte Integral, welches

i

heute 1 — x n )(lx geschrieben wird, in welchem e eine beliebigeo

(konstante bedeutet, das sogenannte erste Euler’s che Integral oderdie Betafunction, welche seit Binet durch 1, n -j- 1) be-

zeichnet wird. Die Auswerthung des angegebenen Integrals erfolgtdurch Binomialentwicklung von 1 1 — x) n , ein in diesem Falle wegen<* < x < 1 durchaus gerechtfertigtes Verfahren, wenn auch Euler sichdessen weder bewusst ist, noch bewusst sein kann. Er setzt also

a'(l — a:)’ 1 = xf — y/ +1 -f- ^ x e + 2 — • • •. Bei der Integration

wird J x r (l—x)*dx+ • '

x r +^_nx e+2: e+l l(e+2)

und J*x* (1o

x) n d x

n(n — n(n —l)(»i—2)l-2(e + 3) 1 ■ 2Ui (e-f-4}

1 n , n (n — 1)

e“+l _ 'i~(c”+2j ' 1 • 2 (e + 3)

’) Sit proposita Itaec fonmdtt J x e dx(l — x) n vicem termini generalis stdiiens,quae integrata ita, nt fiat =0, si sit .r = 0, et tinn posito x— 1, (lut terminumonline n progressionis imle ortae.