— In diese selbst unendliche Reihe werden

für n die mit 0 beginnenden aufeinander folgenden ganzen Zahlen

i

eingesetzt. Man findet, dass j 3? (1 — x) n dx

bei n = 0 n = 1

den Werth

— ')

l • 2

n = 3l • 2 ■ 3

c+l (c+lRe + 2) (e + l)(e+2)(e + 8) (e+ 1)1« + 2)(e + 8)(« + 4)

annimmt, oder mit anderen Worten: Euler hat gefunden, dassi

l , l

ja? (1 — x) n

dx das n t0 Glied der Reihe

+

1 • 2

. iO + —

1-2-3

(e+l)(e + 2)(e + S) 1 (« + 1) (e + a) (p + 3) (e + 4)als l'roduct schreiben lässt:

c+l + (e + 1) (e + ‘-2)+ • • ■ ist und sich

f‘xf (1 — x) n dx

12---»!

{e + 1) (e + 2) • • ■ (e + n + 1)

Diese Productenform giebt, so oft n eine positive ganze Zahl ist,den Werth des bestimmten Integrals übersichtlicher, als die zuvorerhaltene unendliche Reihe es that; dagegen muss jene benutzt werden,wenn n keine positive ganze Zahl ist.

Ist e

/

so wird

J (1

n -f-1

x) n dx = - T—TT- •

1 1 + (M + !.)'/

1 • 2 - - - M

(f + 1 ■ g) (/'+ 2 ■ g) ■■■ (f+n ■ g)

1

und

1 ■ 2 • • • n

(/'+ 1 ' 9)(f+ 2 ■ g) ■■■ (f+ n g)

l * /

-j- -J x g (1 — x) n dx. Durch f 1 und g = 0 geht

der Bruch links vom Gleichheitszeichen in 1 • 2 ■ • • n über, d. h.in den Ausdruck, dessen Umwandlung in ein Integral eigent-lich beabsichtigt war, rechts aber bedarf es wegen des imNenner auftretenden g zur Einsetzung jener Werthe noch einiger

9__

Vorbereitung. Euler ersetzt in dem Integrale x durch x / + !l .

Ei

rlnilt

f + (»*

l + 1)9 j xf+'y f o (i -

9 \« _ /

x f + 9 ) 7 - f — x f + 9 d x

/ / + g

/•+(» +i)g / / LC f+9) n+l J \

rJ+S

9

f+g

dx und nun besteht die Schwierigkeit,