109. Kapitol.

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setzt, gelangt er zu

Y Jdx(—log x)

— 1 /z ——-- • Der Zähler, fährt Euler

Vdz r x .-. - ’

fdxy — log#

1 o

fort, ist f dx (—loga:) = 1, wie sich leicht als richtig erweist, daö

j dx (— log x) = x — x • log x bei x = 0 in 0, bei x = 1 in 1 über-geht. Für den Nenner hat Euler im Vorverlaufe des Aufsatzes den

Werth j dx ]/—loga 1 = }/A erkannt, wo A die Fläche des Kreiseso

vom Durchmesser 1 ist, also nach heutiger Schreibweise A = j und

fdxy— loga- = jj/x, mithin pf = 2 Yn '

in dem gleichen Bande der Petersburger akademischen Verötfentlichungen steht ein zweiter Aufsatz Euler’s: De summatione innume-rnbilium progressionum 1 ), der sich die Aufgabe stellt, Reihen unterAnwendung bestimmter Integrale zu summiren. Wie der Bruch

l _

r=¥= 1 + X + x , so oft n eine ganze positive Zahl, so

l — P n

ist unter der gleichen Voraussetzung für n auch ——^ = 1 -f 1'

-(- •■•-(- F“ _I , welche Function von x auch durch V angedeutetwerde, und integrirt man auf beiden Seiten nach x zwischen den

* k k

Grenzen 0 und k, so entsteht k -)-JPdx -f- jP i dx -(- • ■ • -f -j P“~ i dxk u o o

= j ^dx. In einem besonderen Falle sei P = , so ist

k +

7.a+ 1

(1 + a)a

a +

>.2a + 1

(1 + 2ci)a~

+

+

j.(n — 1) a + 1

(l + (n -

/* a na —x na

I -r- dx. Die Reihe, welche hier summirt ist, kann

,1 (a° — x a ) ft”“““ ’ ’

o

b pd" 1 j(n —l)t + l

mlt 7 + + ■'' + c + (n-i ye vergRchen werden, d. h.

mit einer Reihe von Brüchen, deren Zähler eine geometrische, undderen Nenner eine arithmetische Progression bilden. Dazu ist nur zu

setzen k =

b

a = —

und das summatorische Glied 2

*) Commentarii Academiae PetropoUtanne ad amios 1730 et 1731. T. V,91—105. 5 ) terminus summntorius.