Heiken l)is 1730.

63f)

b

nimmt dadurch den YV

r 7 erth an / -

J l

ne — nci ne ne

b c — c c x c

(n—l)(e — ci) ( e-

e_ e\

Hv c )

dx. Weitere

o

Betrachtungen, auf welche genauer einzugehen wir unterlassen, führenzu Doppelintegralen als summatorisches Glied, noch andere zurAnswertliung und Umwandlung besonderer unendlicher Reihen.

In einem Aufsatze des nächstfolgenden Jahres: Mrthodus t/tmcralissummandiprof/rcssiones 1 ), hat Euler abermalige Reihenuntersuchungenniedergelegt. Gleich zu Anfang ist beweislos eine sehr allgemeineDoppelfonnel ausgesprochen. Ist s die Summe der n Glieder einerUeihe und t das letzte Glied, welches naturgemäss ebenso wie s von nabhängig sein muss, so sei, behauptet Euler,

, ds d*s . d 3 s d*s .

— T- dn — 1 ■ Zdn* ' 1 • 2 - 'ddr ? — 1 2 'A idn' + "'

und

., =ßdn + { +

dt

12 dn

dH _ dH _

720 Ja* ' :i 024 ()( 7 ä®

Später wird die Summation von geometrischen Progressionen undvon solchen Reihen gezeigt, deren Glieder durch einen Factor einegeometrische, durch einen zweiten eine arithmetische Progression auf-zeigen, Reihen mit welchen De Moivre (S. 344—345) es seiner Zeitzu thun hatte. Ist s — xf -f- x°+ b x a+2b + ••• +so folgert Euler s — xf 1 -)- x?+ nb = x a + b z?+ 20 -)-••• -(- x?+ nb

x a _ x a + nh

= xf (x? -J- x a + b + • • • + = xds und daraus s

Ist ferner s = a? 1 -f- '2x aJrb -f- 3 xf-+ 2b -)-••• + ua7 z + (n—1)4 , so wirdgefolgert s — x a -f- (n -f- 1) x a + nb = 2x?+ b -f- 3a; a + 26 -f- • • • -f-(« -f- 1) xf+ nb — xd' (2xf -f- 3x a + b + ••■+(« + 1) x a + in ~ 1)6 ) =

xd(s -j- xf -)- xT+h + ••• + xf+fr- 1 )* 1 ) = xd (s -f- un( i

__ ~, a + nb «r a + »*

daraus s = —:-—rrö-- . • Bei a = b = 1 wird x 4- 2x 2

fl — x b ) 2 l-x b 1

I I n X - (» + 1) X*-^ 1 -)- nX nJr ' 2 T-, , '-LJ J , ,

+ • • • -f- nx n =--—---Euler zeigt, dass der letz-

tere Ausdruck auch durch Integration und darauf folgende Differen-tiation gefunden werden kann. Aus s = x -f- 2x~ + • • • + nx n folge

nämlich fd-dx = fdx-\- j'2xdx-\- ■■■ -)- jnx n ~ 1 dx = x-\-x 2 -\ -

+ *— 5 t

T n + l

und daraus ~ = ~x dx

1 — {n+\)x n + nx n+l

‘) Commentarii Academiae Petropolitanae ad comos 1732 et 1733 . T. VI, 08 — 97 .