Tteitlen bis 1736.

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Das nächste Glied ist die Veränderung von s,

a +1 b ° ’

welclie der

Veränderung von i um 1 entspricht, und da bei sehr grossem i dieseVeränderungen als Differentiale zu betrachten sind, von welchen di

als constant gilt, so ist + = s =./^r^= C + £log(a+i&).

Setzt man aber die Reihe bis zum Gliede

■ (ni — 1 ) b

fort, so muss

als Summe C -(- -i-log(a -f- nib) herauskommen. Die überschüssigen

Glieder

+

+ ••■ +

haben mithin die

a -f- ib 1 a -|- (i -|- 1) b T 1 a {ni — 1) bSumme [tf + £ log (a + nib)] — [o+ ® log (a + *&)] = \log ++ + ' -,

welches bei sehr grossem i in ^ log n übergeht. Bei a = b = c = 1

ist also nahezu log n = (j + j ^ H-(- ^) — (7 + \ j

-f- • ■ • -}- i j. Die Gliederzahl der abzuziehenden Reihe ist nur der

■n la Theil der Gliederzahl der anderen, d. h. man hat je n Gliederder positiven und eines der negativen Reihe in eine Gruppe zu ver-einigen. Man erhält log n = (y + ^ -\ -h \ — y) + ( n ^ +

jVS + ' ‘+ in ~ Tr) + " ' + ((n — 1) i + 1 + (n — 1) i + 2 “I ^Wenn auf diese Weise Reihen zur Logarithmenberechnung

hervorgebracht werden, so dienen umgekehrt Logarithmen zur Sum-mirung der harmonischen Reihe. Aus der logarithmischen Reihe

lo s i 1 + i) = i — d? + dr* ~ tp ^— folgt i = lo § ~!r +

+- s — „--3 -+ — ■ • und setzt man für x die aufeinanderfolgenden

3 vC 4x

ganzen Zahlen von 1 bis i, so erhält man

« +1

log 2 + ¥ -

log | + WI

!°g 4 +

1

2 Vf

1

2~9

1

I + I 1

J_ + -J_L_

3 ■ 8 ' 4-16 5-32

3.1 1

3 27 ' 4■81 ~ 5 ■ 243

1.1 1

~ 5 +

+

+

4 l°g 4 + 2 16 3 • 64 + 4 • 256

5 • 10

24 +

I = lo g l+i + ^

1

3T s

I 4i 4

1

5 T 6

+

Die Addition dieser Gleichungen führt zu folgender Formel: — -f- —