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109. Kapitel.

und 1737 Briefe über dieselben mit Johann Bernoulli gewechselt.Als im Jahre 1742 Johann Bernoulli’s Werke in 4 Bänden erschienen,deren vierter wesentlich noch Ungedrucktes brachte, wurden vomVerfasser selbst an dessen Spitze drei Aufsätze über Reihen gestellt,deren dritter die Summirung der reciproken Quadratzahlen von derSinusreihe ausgehend vollzieht 1 ), also ganz ähnlich wie Euler es ge-macht hatte. Die einzige Erklärung dieser auffallenden Nachveröffent-liehung kann darin gefunden werden, dass Bernoulli durch Euler nurvon dem Ergebnisse der Summirung}Kenntniss erhalten haben dürfte.Das geistige Zusammentreffen in der jedenfalls nicht ganz naheliegenden Herleitung bleibt immerhin erstaunlich.

Wir kehren zu Euler’s Abhandlungen über Reihen zurück, undzwar zu seinen Bemerkungen über harmonische Reihen, De pro-

yressionibus harnionicis observationes 2 ). Die Reihe

ist eine harmonische, weil je drei

£ _i-£- _l

+ +

+

a -)- 2 b 1 1 a + {i — 1) b

auf einander folgende Glieder derselben eine stetige harmonische Pro-portion bilden. Ihre Glieder nehmen fortwährend ab. Trotzdem istdie Summe der unendlichen harmonischen Reihe unendlich gross,was mittels des Princips einleuchtet, dass, wenn eine unendliche Reiheeine endliche Summe besitzen soll, die Summe von 2 i Gliedern sichvon der von i Gliedern nicht unterscheiden darf, d. h. in diesem Fallemuss die Summe der Glieder, um welche die weiter fortgesetzteReihe die kürzere übertrifft, unendlich klein sein; ist dieselbe dagegenvon endlicher Grösse, so kann die Summe der unendlichen Reihe nichtendlich sein, sondern muss unendlich gross werden. Nun betrachte

c 4- . c — --1- c

• /! 1 (t I 1 \ 7l l *

man die (n — l ') i Glieder

u -f- ib 1 u -f- (i -f-1) b

Ihre Summe ist >

(n — 1) ic

und <■

(n — 1) ic

a (ni — l)bd. h. bei sehr

a-j-(ni —1)1/ “““ ^ a -f- ib ’

grossem i, dem gegenüber a wie b nicht in Betracht kommen, liegt

diese Summe zwischen

(m — 1) c

und

(n — 1) c _

sie ist somit von end-

nb b

licher Grösse, und die harmonische Reihe selbst unendlich gross.Es ist nicht zu verkennen, dass hier Jacob Bernoulli’s Divergenz-beweis (S. 90i als Muster diente, aber ebensowenig, dass Euler’sFassung des Beweises noch klarer war und das Wesen der Reihen-divergenz noch mehr enthüllte. Nun setzt Euler weiter s als die

c c

Summe der / ersten Glieder, d. h.-1-j—r +

} (t ' a-{- o '

, v _

' n + {i — l)b ~~ s '

l ) Job Bernoulli, Opera IV, 20—25. *) Commentarii Acaclemiae

Fetropolitanae ad un/ium 1734 et 1735. T. VII, 150—161.