Reihen bis 1736.

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gestellte Flüche, welche von den Ordinaten A «, (1p, der AhscisscAQ und der Curve uß - -Q eingeschlossen ist. Letztere Curvenflächeist also zwischen zwei Grenzen eiugesehlossen, welche Newton

Fig. 104.

(S. 193) bereits gekannt hatte, und die Reihensuimne zwischen zweiIntegralen. Eine dritte Figur endlich (Fig. 105) bringt noch engerdie Reihensumme einschliessende Grenzen hervor als die genanntenIntegrale, indem die dort vernach-lässigten gemischtlinigen Dreiecke in-sofern Berücksichtigung finden, alsman statt ihrer um weniges grössereoder kleinere gradlinige Dreiecke inRechnung bringt.

Wir haben (S. G35) gewisseFormeln auftreten sehen, in welchenDifferentialquotienten aufeinander fol-gender Ordnung die hervorragendsteRolle spielten. Auf die Herleitungdieser Formeln kam Euler zurückunter der Ueberschrift: Inventio summae cujusqne seriei ex datotcrmino generali 1 ). Die Bezeichnung ist eine andere als in demfrüheren Aufsatze. Euler schreibt jetzt x statt n, X statt t, S statt s.Er setzt ferner den Taylor’schen Satz voraus, für welchen er dessenEntdecker angiebt, und der in der Form auftritt, eine Function y

von x nehme, wenn x in x 4- a übergehe, den Werth an y + — '-' J -

+ i ~2 dx* l « 3 dä^ "t“ ' e ” ie unendliche Reihe, an deren Be-nutzbarkeit kein Zweifel laut wird. Ist beispielsweise y eine Function

a

1 ) Commentarii Academiae Vetropolitanae ad anmim 1736. T. VIII, 9—22.