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109. Kapitel.

von x, welche die Eigenschaft besitzt, mit x zugleich zu verschwinden,so lasse man a = — x werden, weil alsdann x -f- a = x — x = 0 ist,und setze den neuen Werth von y als Null, d. h. man er-

hält 0

1 dx

1 • 2 dx

x* d*y

- -}-•••, beziehungsweise

1-2-3 dx 3 1 ’ °

— • • •. Eine derartige mit x zu-

-}-•••, beziehungsweise

1 dx 1 ■ 2 dx“ 1 • 2 ■ 3 dx 3

gleich verschwindende Function ist naturgemäss S oder die Summeder x-gliedrigen Reihe A -f- B -\- C • • ■ -f- X. Bei x — 1 Gliedernist deren Summe S — X der Werth, den S annimmt, wenn x inx — 1 übergeht, d. h. wenn oben a = — 1, y = S gesetzt wird,

1 • 2 dx 1

1-2-3 dx

Daraus folgt die erste der früheren Formeln: X = g — - -- gf -|-

1 d 3 S1-2-3 dx 3

Soll eine Umkehrung der ReiheD in dem Sinne erfolgen, dassS nach X und dessen Differentialquotienten entwickelt werde, sonehme man cc, ß, y, (), e ■ ■ ■ als vorläufig unbekannte constaute

dx 1 ' dx 1 r dx 2 1 dx

Fortgesetzte Differentiation giebt

während Integra

’ dx”

tion zu S = ajX dx + ßX + y g + d -f • • • führt. Die

S = ajXdx + ßX + y g + d + • • • führt. Die

Differentialquotienten von S nach x setzt Euler alsdann in obige erste

+dS+(-

1-2-3

12 - 3-4

1-2-3

Alle Einzelglieder dieser Entwicklung verschwinden, und die Ent-wicklung selbst ist unabhängig von der Art des Zusammenhangeszwischen X und x, wenn die Constanten a, ß, y, d ■ ■ ■ so gewählt

werden, dass 0

1-2-3

So erhält man «

1-2-3

(j-— g d = |- — -jj- -f- • • •. Jeder folgende Coefficient hängt

von allen ihm vorhergehenden ab. Eine unabhängige Darstellung

*) Commentarii Academiac Petropolitanae ad annum 1736. T. \ III, 14—16.