111. Kapitel.

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So wird das Trinorn + j) — 2 (l -|- cos —(— 1 = ^ -|-

/ \

l 1 + T + 4* ; wobei der constante Factor

ik'x'x _ ik'-n'

»* t*

dH'***

unberücksichtigt bleiben darf. Somit zerfällt e* — 1 in unend-

lieb viele jetzt bekannte Factoren, d. h. man erhält ^ -f- j—^ -f- t ~2 3

+ --*(' + f+Ä)(H-f+^.)( 1 + T + 5li.)-- E »'«

setzt ausdrücklich die Bemerkung hinzu 1 ): Obwohl hierin die ein-zelnen Factoren den unendlich kleinen Theil % enthalten, so darfderselbe doch nicht weggelassen werden, weil sich aus ihm nach aus-geführter Multiplication aller trinomen Factoren das Glied *

ergeben wird; Euler nennt das eine Unbequemlichkeit, der eraus dem Wege gehen will, und dazu bedient er sich einer anderen

Factorenzerlegung. Neben c* = (l -f- -?) =1 + 1 + 1 -., + ^* ^

+ ••• «* '-f+Ä-r?r, + -- ^

(1 + *)‘ - (1 - j)‘ - 2 [f + , , + •••]• Nun setzt Euler

I.

Hierdurch wird

Oh - ‘».«8

2az cos —(- z 2 = 2 4- -

n ' 1 t*

2 (l — 4-) cos • Man kann wieder cos = 1

\ i*/ 1 1

und erhält dann a 2 — 2 az cos -|- z 2 = 4-

n ' t i 1

4

2/; ! 3r a

i*

ilc***

schreiben

( l +ä - oder

j + ■ ist durch 1 -f-

— X „ theilbar. Hiervon aber, fährt Euler fort, kann man sicherk 1 ti* i* 7 7

den Theil weglassen, weil derselbe auch mit i multiplicirt immernoch unendlich klein bleibt. Somit ist also ermittelt:

X | X "

+ 120 + 6Ö4Ö + ’ ‘ ‘ = * ( X + I«) ( X + 4bt*) (* + Üi ' ‘ •• DieSeGleichung dient selbst wieder als Ausgangspunkt neuer Zerlegungen.So lässt x = z y 1 links die Sinusreihe entstehen, rechts Factoren^1 — -f- , und daher hat mau die Zerlegung

1 —

k*n'

*) Euler, Introductio I, § 156 am Anfang.