Knler's Introduetio, Iiand I.

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+ T zi — f <12 —p (cos cp -j- Y — 1 singo)] -\qz —p(cosgc-—]/— 1 sinqp)] ,und die ganze algebraische Function a -f- ßz -)- yz 1 -f- dz 3 -f- ■ • •auf deren Zerlegung es ankommt, muss verschwinden, sowohl wenn

z = —■ (cos cp -f- y —lsinqp) als auch wenn 2 = ^(cosgp—)/—lsinqp)

eingesetzt wird, was unter Benutzung von (cos cp -f- ]/— 1 sin cp) n =cos»<p+]/— 1 sin 71 cp zu geschehen hat. Diese allgemeinen Vor-bemerkungen leiten über zur Zerlegung von a n z n , bei welcher diebeiden Fälle eines ungraden und eines graden n unterschieden werden.

Ist n ungrad, so hat a n -(- z n ausser dem Factor a -f- z noch n ~ 1trinome Factoren, ist n grad, so sind ausschliesslich trinome Factoren” an der Zahl vorhanden. Aehnliches gilt für die Zerlegung vona n — z n . Bei ungradem n ist der Factor a — z neben ” o 1 trinomenFactoren vorhanden, bei gradera n vereinigen sich die beiden einfachen Factoren a — z und a -)- z mit — 0 -— trinomen Factoren.

Sodann sind die einzelnen Factoren von a n -)- z n und von a n — z nwirklich gebildet. Letztere heissen a 2 — 2az cos —--)- z~, wo Je

alle positiven ganzen Zahlenwerthe von 0 anfangend erhält, bis dasFroduct der Factoren die nöthige Dimension erreicht. Es war

r =14-_ _i_ JL. _j_5_

' l “ 1 • 2 ' 1 • 2 • 3

■ ■ ■ ■ und ebenso e*=

i'+il

~x)

X

. Folglich

muss, unter der Voraussetzung i = oo, auch sein 1 -(- + -f-

r£i + ■—(» + T)‘ T + r-i + ttj + •—(> + f)‘-

Der Ausdruck rechts ist aber von der Form a n — z n , wenn a — 1-(- -j, 2=1, n = i, und die Factoren desselben werden (1 -)- -rj

— 2 (l -f- cos -(- 1. Bei Je = 0 erscheint (l —

— 2 (l -f- j'j cosO -f- 1 = (l + — l) = (jJ , welches aber durch

x x x^ x^

— ersetzt werden muss, weil — + -f- -—- — + ••• sich nur durch

i 1 1 * U - 1 • Z • «5

je (beziehungsweise jj , aber nicht durch x' 2 (beziehungsweise j,-J

als theilbar erweist. Bei Ä-> 0 tritt für cos “ seine Reihenentwick-lung 1 —4 (“ 7 “) — ■ • ■, welche aber wegen i = o

auf die beiden Anfangsglieder 1

2& ä 5I

beschränkt werden darf.