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11). Kapitel.
sein muss, und nennt man P, Q, Ji, S, T ■ ■ • die Summe der l ten , 2 ttn ,3 lcn , 4‘™, 5 ten ■ • • Potenzen jener Coefficienten, welche mittels des
Girard’sclien Satzes aus - n
I» ' 1 VII 1 n
1 + -- 4-
•>« I 5!
6 ’ 120’ 5040
= ?, Q-
hergeleitet werden, so entsteht
1 _i_ - 1 1 . . .
l* i 2* ^ 3 4 '
7t
yd ’
R = 16 + .je + j* + • • • = ^ 5 , und allgemein zeigt sich
+ +
als summirbar. Die Summe ist
1 ■ 2 • 3 • • -(2n-f 1)
ver-
vielfacht mit Constanten, welche, wie Euler bei dieser Gelegenheitsagt 1 ), eine beim ersten Anblick ziemlich unregelmässige Reihe von
Brüchen 1 , 1 , - 3 -• • • bilden die bei sehr vielen Ge-
legeuheiten gebraucht werden. Jacob Bernoulli ist nicht erwähntund ebenso wenig wird der Beziehungen gedacht, welche zwischenden von Jenem beobachteten Zahlen (S. 333) und den hier genannten
e x 4- e~ x
obwalten. Euler leitet dann aus der Factorenzerlegung von —7 E_j—
Ä/“ 0^
= 1 -|- -- + + 72 o + • ■ ' ^ n l* c t e Reihensummirungen ab, bei
welchen wir uns nicht aufhalten wollen, und ebenso gehen wir überdie Herleitung von Reihen für die Tangente hinweg 2 ).
Das 11. Kapitel, Yon anderen unendlichen Ausdrücken fürdie Bögen und die Sinus, setzt den Gegenstand fort. Euler hat
den Wallis ’schen Ausdruck (Bd. II, S. 827) j = ■ “ * * 3 3 3selbständig hergeleitet. Er hat ihn durch Zusammenfassung von je
r -v 2 Vt (2 )l } 2 )
zwei Factoren des Zählers und des Nenners 77 — , , , ; —- =
(2 n + 1) (2n + 1)
1 - (27T+-TP in die Gestalt T = ( L - j) (* - i) I 1 ~ h) '' •
• 7t 1
gebracht und hat auch mittels sin unter Anwendung der
Factorenzerlegung der Sinusreihe |/2 = 2 - ■ 6 ■ 3 13 10 — gefunden.Logarithmirung giebt ihm log j = log (l — |) + log (l —
-(- log ^1 — jgJ -{-■••, wo jeder der rechts vom Gleichheitszeichenbefindlichen Logarithmen sich vermöge log (1 — x) = — x —
/j«3 ^ ^
—---- • • in Reihengestalt anschreiben lässt. So wird, wenn
man die mit den Coefficienten 1, • ■ ■ vervielfachten Glieder
*) Euler, Introductio I, § 1G8 am Ende. *) Ebenda I, § 181.